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2025学年高考数学高昕一轮试听课，百度网盘分享高昕老师高考数学课程4.55GB高清视频。

多拉爱心指点迷津，屏幕前的同学你好，我是高鑫老师，从这节视频开始呢，咱们就正式进入到了高中，总复习了，那咱们先来说一说在高考中。非常基础，但是出现频率极高的积淀性内容解不等式啊，这个能力在高中可太重要了啊，为什么这么说？大家可以想一想在中考中啊。很多题是不是最终让咱们去求职，所以那个时候解方程的能力就很关键啊，这是中考的核心考察能力，而在高考中啊。很多题让咱们求的是范围，那就要求咱们得会解不等式，你把一个不等式解解解到最后啊，就最终能得到啊，要求的那个字母的这个范围了。啊，那之前呢？可能有的同学啊，做一些题目啊，会发现呢，自己这个题本身呢，模块儿知识没有任何问题，题型也会，但就是最后不会解不等式或者不等式解错了啊，你可能端点啊，取错了。或者什么方向取错了，导致最终的结果有问题的，那这个就太吃亏了，尤其要是选择题或者填空题啊，这吃亏可就吃大了啊，所以咱们一定要先把这个积淀性的能力解不等式。啊，要100%的这个搞定啊，所以接下来这几个视频呢，如果是基础不太好的同学，可一定要认真听啊，基础比较好的同学也要好好的把这几个视频过一遍。确保自己这方面的能力是没有任何问题的，那咱们这个视频呢，先来给大家说一说，其中出现频率极高的解高次不等式和分式不等式，那先来看里面最简单的。一元二次不等式啊，咱们把讲义拿出来来看一看，这节课的第一道题例，一一道高考真题。啊，咱们每次呢听视频出版物的时候都是先暂停自己做一下，做完之后再回来按下播放键。嗯，好啊呃，咱们来看一下这个题呃，快速给大家回忆一下，解一元二次不等式的这个方法，这个咱们。啊，高一的时候全都学过，而且仅于二次不等式，几乎是天天用啊，特别常规的技术能力，所以我就快点儿给大家说。这里给大家的建议呢，还是把它的解法统一啊，有的同学说我就现场画图行不行？开口向上的我就现场画个这么一个图。开口向下的现场画个这么一个图，我看它呃哪段儿大于零，哪段儿小于零啊？

可以啊，但是为了让大家啊截起来呢呃比较的。啊，有条理给大家建议呢，还是尽可能把解法统一啊，咱们就先让开口儿向上吧，所以第一步。就统一把。开口化为向上。啊，就这个图，然后它的特点呢？就是如果你要求大于零，你取的就是两边儿，如果你要取的求小于零，你取的就是中间儿。啊，这个快速过一下就行啊，因为太常用了天天使。嗯，好啊呃，回来说一下这个题啊，那这个题要求定域这个式子对定域的限制就是要求根号下得大于等于零呗。那第一步，先把最高次项化成正，它这个是负的，怎么才能辩证左右两侧同乘负一啊？这里注意左边乘以负一的话，每一项的符号都得变。然后因为你乘以的是负数，一定要注意不等号的方向，它也得变，然后左边再因式分解。两个根负一跟七小于零就取中间，那最终啊，就是大于等于负一小于等于七啊，然后注意它要求的是定域，定域是集合要写成。集合或者区间的形式。这个题结束。熟了就是可以不画图，直接判断大于零取两边儿，小于零就取两个根的中间儿。啊，当然有同学说有的时候咱们在考场上确实啊，可能一上来比较紧张，突然之间脑袋短路了，有没有可能有可能啊，不排除你可能会出现这种情况，那你就现场画个图。来看一下诶，我大于零的话，取的是就两侧小于零的话，取的就是中间。嗯，好，那咱们再来看高次不等式啊呃，大家自己做一下例二，做完之后再回来按下播放键。嗯，好啊呃，还是回来快速给大家整理一下它的解法。咱们为了规范啊，还是推荐大家把它的解法统一啊，依旧是一上来就划成。最高四项为正的。它的解法大家都知道，叫做穿线法。啊，举个例子，快速领大家回顾一下。假设这个大于零，怎么去解画一个x轴，把所有的根全都写上？然后开始穿线，具体方式就是从上向下，从右向左，从上向下，唉，从右向左这么穿过来。然后来看它，如果要取大于零的部分，就看x轴上方，那就是这段儿。还有这段儿也就是一到二并上三到正无穷，这就是它的解集。从上向下。从右向左。然后还有一句话叫做击穿偶不穿。这个奇偶指的是每一项的指数啊。

这什么意思啊？有的同学还记得它怎么操作，但是它的原理有点儿忘了，我快速的给大家解释一下，首先啊，这个图为什么要这么画？这并不是它的图像，这只是代表每一段儿它的正负。咱们知道呢，这个式子啊。第一个式子呃，它大于零。小于零的临界条件。它就是x跟一的相对大小，那同样道理，它大于零小于零，临界条件是二，它的临界条件是三，那如果x比三都大的话，这三项是不是全都是正的？那乘在一起也是大于零的。啊，所以你大于三的时候呢，是画在x轴上方的比零大的啊，那你比三小的时候，为什么它就穿过去了，你的符号就会变负呢？啊，因为原来啊，你三项全都是正的，一旦x比三小，这里指的是在二三之间的时候，这一段儿那前两项的符号儿是不变的，因为你x还是比二大的，它俩还都是还都是正的，但是这一项。只有它它的符号儿会由正变负啊，因为你x大于三，它就是正x小于三，它就是负，所以你当你只有一项的符号儿由正变负的时候。它们四几个乘在一起的符号就会变成原来相反的情况。你有一项由正变负了，那你原来承载起是正的，现在三个承载起它就是负的，所以你这一段儿就跑到x轴儿下方了啊，就代表这一段儿它是负的，然后如果你再往左穿越过二这个点。那是不是又有一项会变号啊？就这一项。原来x比二大的时候它是正的，现在x比二小了，它又变成这个负的了，其他两项的符号不变，而当你就一项的符号变的时候，整个式子的符号还是会发生一次改变。那你现在乘在一起又是正的了啊，所以你这段儿又在x轴儿上方啊，那再往左穿是一样的，你再变成比一小的时候穿过这个点，那这一项又由正变负了整个式子，又会变号儿，它们三个乘在一起又变成负的。你就又穿过去了啊，所以你每越过一个临界条件，就会有一个式子由正变负，那整个符号儿就会发生一次逆转，你就穿了一下，原来负现在正原来正现在负。那机窗偶不窗啊，就是如果你有一项。或者其中的某一项，它是指数为偶数。那这个时候怎么去画它的图像？还是这三个根？

但是呢，这一项它是不穿过去的，偶不穿嘛，其他的奇数啊，这是指数是奇数，其实都是一次。你是穿过去，而在二这个点啊，你就是点它一下，但是不穿过而不穿，你又回来了，不穿过去变成这样。啊，那为什么会这么画啊？其实本质原因就是咱们刚刚说的，本来你为什么会穿过去，因为你x比二大比二小的时候，你这一项是会变号的，但如果你这儿是平方的话。x无论是大于零还是小于零，这一项的符号儿是不是就是确定的它都是大于零的，它是不变号儿的，那你不变号儿，你就嗯没有办法穿过去。你原来负，现在还负啊，原来正，现在还正，那你就不穿啊，这是它本质的这个原因啊，叫击穿我不穿我怕有的同学忘了快速再领大家。回忆一下。啊，那用这样的原则呢？就把这些题啊，特别快的就能解出来。这个圈一把所有的根画上。然后从上向下，从右向左奇穿偶不穿，那只有这一项偶数，它是不穿的。过而不穿。啊，这个样子，然后来看它要求小于等于零的部分。

哪部分在x轴下方，或者就在x轴上，是不是它有两段儿？首先是这一段儿，这一整段儿全都是呃小于等于零的。然后还有这一段儿，那最终的这个解集呢，就是负无穷到一注意端点一也可以啊，因为它就在x轴上，它是等于零。然后并上二到三完事儿啊，这是第啊一问。解的非常标准，就按照这个方法去解，然后再来看一下这个第二问。

一上来要先干嘛？标准化先把最高次项变正，它这一项是个负的负的x的立方，那你就要左右两侧同乘负一那左边儿这个负一呢，就跟它相乘。它就变号了。注意你乘以负一的话，这个要变成大于零不等号的方向不变，然后来画根啊根的大小别画错，负五最小。然后是负四，然后是二，还是开始从上向下，从右向左击穿啊，偶不穿这一个是不能穿过去的，其他的都穿。只有他不穿那图，是不是就长这样，然后仔细读题，这个题要要求的是什么啊？这个题呢？要求的是大于零的部分有几段儿？有同学说两段儿啊，唉，这一段儿这一段儿，这就错了，一定要单独判断一下临界条件啊，就这个点很特殊，单独判断一下等于负五的时候行不行？这个时候是大于零吗？

不是x=- 5整个式子是等于零的啊，它是在x轴上的，所以这个点本身取不了，那这个点就把。左边儿那一段儿嘎嘣儿分成两段儿了，这一段儿可以，这一段儿可以，这一段儿也可以，所以这个题最终是三段儿，这三段儿都是大于零的。负无穷到用红笔给大家写啊负五，然后并上负五到负四。然后再并上二到正无穷注意负五这个点扣掉结束啊，这就是非常标准的高次不等式。呃，那接下来呢？咱们稍微来看一看，有一小点儿变化的这个题目啊呃，来看例三还是自己解完之后再回来按下播放键？嗯，好啊，一起来看一看它跟刚刚的题的区别是啥，它本质也是一个三次的，那就是它的根呢，没有那么容易知道啊，没有办法，一眼看出来，那咱们就自己硬套求根公式求它的根呗。那它的两个根呢？在草纸上写一下，就应该是2a分之负b加减根号下，这个b方减去4 AC应该是五吧？所以咱们如果硬要把它写成这种因式分解的这个结构啊，那它就是减去第一个根。然后再减去第二个根。然后再乘以x减去第三个根，最后小于零啊，然后在数轴上把这几个根写一下。明显它是最小的，然后一是最大的，这个就在一还有左边那个根之间啊，这个根是比一小的啊。它比一小，因为上边呢是根号二这个啊，根号五啊，二点二左右减去一个一呢是一点二左右再除以二，它肯定比一要小。这三个根的大小顺序。也不要错。还有意义，那就正常穿呗，从上向下，从右向左击穿，我不穿这个题，没啥特殊的，挨个穿过去就行了，然后它要求的是小于零的部分，那就是这一段儿。跟这一段儿，那最终呢，就写它的解集。负无穷。没有断电啊，因为它就是小于零。第一段儿并上第二段儿。完事儿。嗯，好啊，那咱们再往后来看，大家试着自己解一解例四这两个题。这个就是分式不等式了，也是非常常考的类型。嗯，好啊呃，那给大家来整理一下它的解法。

呃，分式不等式啊，其实咱们整体可以分成两类。第一类呢，就是。不等号，右边是零。啊，这种就比较直观。当然，它具体呢，又细分成两类啊，第一类呢就是带等号，第二类就是不带等号，它俩是天壤之别，一定要注意。啊，或者小于零是一样的，反正是一个意思。这是第一种类型，就是不等号儿，右边儿是零啊，这两类一定要分开，它俩的解法不同，那如果是不带等号儿的。两个东西的比值大于零是什么意思？就是它们俩要么都是正数，要么都是负数才能够出现这样的效果，想想是不是这样？啊，那怎么去表示它们俩同正或者同负直接转化成它俩的乘积？大于零就直接转就行。比值大于零，就意味着乘积大于零啊，因为比值大于零就两种情况，同正同正的话，乘积大于零，要么就是同负同负的话，乘积是不是也大于零？这两种情况下都满足大于零。所以就直接转化成这个就行啊，那当然，如果题中给的是比值小于零，就说明它俩的这个符号是相反的。那就转化成它的乘积小于零，就一正一负乘在一起，肯定小于零。这是第一种啊，比较简单，但是一定要注意第二种啊。大于等于零，怎么办？有同学说，那我就转化成乘积大于等于零呗，但这里一定要注意。它是同时转出两个条件，一个是要求它俩的乘积大等于零，但是如果你只解它的话，这个式子会有一个解。是b=0，而这个解释这个题不能有的，因为b在分母的位置上啊，所以你同时还得要求b不等于零，这两个条件是要同时满足的。我的建议就是拿个大括号，直接括起来，省得你写第一个条件的时候把第二个条件忘了。啊，或者就是如果这是小于零的话。那你就转化成它的乘积小于等于零，而且也要求分母不为零是一样的。嗯，那咱们快速来看题呃，一上来这个题圈儿，一是不是就是？

咱们刚刚说的那第二种类型。首先右边是个零，而且呢，它这是小于号啊，小小于等于号就是它带等号了。所以一定直接等价出两个式子，千万不要只写一个，那就写错了。第一个就是让分子分母的乘积。小于等于零，然后第二个要求分母不为零。第一个是不是直接转化成高次不等式了，所以分式不等式的本质就是高次不等式啊，咱们只需要会解高次啊，分式就转一下就行了，这两个条件要同时写出来。那一个一个来看啊，先来看第一个。穿线啊，把所有的根全都写上，负二是最小的。然后是一，然后是三，然后是四开始穿吧啊，哪个特殊只有一是特殊的啊，它是过而不穿。点它一下，不穿过去，然后又回来了，其他的正常穿，然后来看它要求什么，它要求小于等于零的部分。啊，这里问大家一个问题是几段儿？有同学说两段儿啊啊，这一段儿这一段儿，但是一定要注意，刚刚跟刚跟大家说这种特殊点是不是要单独判断一下它满足条件不？它也满足啊，因为它正好等于零，它也是小于等于零的一种情况，所以这个题本质上是三段儿，只不过其中一段儿它是一个点。所以如果你只解第一个式子的话啊，咱们先说只解第一个，那就是负无穷到负二，注意这个端点是能取的，因为它是带等号了。然后并上。一，它自己组成的这个集合，然后再并上三到四啊，这是你写第一个式子，但是第二个式子呢，要求x不能等于三，也不能等于四，那就把这两个端点去掉。这就是最终的结果。啊，这个题暗藏了不少杀机，把它好好整理一下，看是不是所有的小点都解对了？嗯，那咱们呃回到笔记这来啊来说第二类。第二类呢，就是右侧啊呃，右侧呢它它不是零，它是一个常数。啊，是带不带等号是无所谓的啊，反正关键点就在于右边是一个常数，那它咋解？啊，这个时候呢，就看。

b的特点了，就是b1般是一个表达式，如果b的符号确定的话，你就可以去分母了，直接左右两侧同时乘以b，但是有的时候b的符号它不确定。那你就不能乘啊，因为你都不知道它的正负，你怎么乘它，你乘它之后这个不等号，你都不知道方向，要不要改，你就没法这么做，那你就只能是。把这个a挪到左边去，变成a比b，减去小a大于零啊，所以这里又分成两种情况。第一种情况就是b符号确定。那这个式子直接转化成a要大于b乘以小a，当然这个的前提是b得大于零才行。啊b，如果小于零的话，你左右两侧同乘同乘它的话，那个这个不等号就得变了。这是第一种，那第二种啊b符号不确定。那没办法，你没法直接去分母了，你就得按分式来解，你得把它挪到左边去。右边是不是就变成大于零了，就转化成咱们刚刚讲过的这个类型了，然后你再通分。这就变成了刚刚说的右侧是零的结构啊，所以它细分的话其实是两种。嗯，好啊，可以把整个笔记整理一下。那咱们回来看。啊，这个题呃，这个题呢？其实咱们可以来判断一下圈二它是哪一种？右边呢，它是一个常数，那咱们就来看分母的符号确不确定？它应该确定吧，因为你来算一下它的德尔塔，它的德尔塔应该是小于零的，就说明这个二次函数跟x轴没交点，它是大于零恒定的。永远在x轴上方。那你就可以左右两侧缝心的同时乘以它啊，这个时候呢呃，它的符号是确定的。你可以把右边展开。呃，把它挪到右边儿去，那就变成了x方减去个5x，然后减去个六大于等于零，这一看就是因式分解啊。两个根负一跟六大于零，取两边儿啊，所以x要么小于等于负一，要么它大于等于六。啊，你最终呢？一定要写成集合或者区间的形式，这是负的。烂事儿。那再给大家补一个题呀啊，补一个万一。它是有一个圈儿三。我把这个数稍微改动一下。

把这两个数调换一下位置。是来解一下这个。快件。嗯，好啊，咱们一起来看一下这个题，那这个题来判断类型啊，首先右边儿不是零是个常数，那你就来看分母它的符号儿确定不？啊，不确定这一看呢，它就能因式分解，而且你算它的德儿，它也知道它的德儿，它是呃大于零的，它跟x轴是有两个交点的，你都能分解成这个形式，那x取不同值的时候，它就可正可负。啊，那就没法左右两侧同乘分母，那你没办法，你只能把二挪到左边去。你变成减去二小于等于零，那接下来就得通分了呗。分子整理一下，是不是就应该长这样？那上面呢？就是负x方加上一个7x，然后再加上一个八比上下面。

变成小于等于零，变成这个结构了，那这个结构不就是咱们？总结的第一种结构嘛，就应该是它是吧？右侧是零了，那怎么办？直接转化成这两个式子，一个是它的乘积。呃，大于等于零或者小于等于零，另外一个就是分母不为零。它俩的乘积呃，在这儿呢啊，就先先写在这儿吧，等一会儿啊再处理。变成它的乘积小于等于零，而且分母啊，不为零分母直接给它因式分解了吧？它是不等于零的啊，那这个要解的话，肯定是高次不等式，你就把每一项都因而分解了，但是这一项呢，它的最高次项现在是一个。呃，负的直接把它变正，所以这个式子你先让左右两侧同乘呃负一。说变量成这个啊，然后你把它因式分解。

这就变量成这样了啊，变量成这样之后啊，来画它的图。穿线把所有的根标上啊，这是负一这是一啊，然后这是七啊，不是不是这是三这是三。这是不是应该是八正常穿呗？从上向下，从右向左，夸夸穿，然后穿完之后呢，看咱们要取哪段儿，咱们要取大于等于零的，这个那就应该是这段儿这段儿还有这段儿，但是要注意有两个端点取不了，就是一跟三这俩端点取不了，剩下这两个。个端点负一跟八啊，都是能取的。那最终的这个结果呢？就应该是负无穷到负一。右臂，然后并上。两端都是开区间一到三，然后再并上八到正无穷左闭右开完事儿。啊，这就是一道非常综合的题目。所以分式很多时候本质就是高次，把高次练熟了解起它就也很轻松。

嗯，那咱们接下来呢，快速的来练几个题来看这个题。例五，一道高考真题依旧是自己快速解完再回来，按下播放键。嗯，好啊，咱们来看，首先右边儿是零，然后这儿还带等号儿了，那是不直接等价重两个式子？一个是它俩的乘积。小于等于零。另外一个是分母不为零啊，那解上边儿两个根负的二分之一跟一小于零，取中间儿。所以它解完呢，就是在这两个数之间，然后下边解完呢，就是不等于左边那个断电两个条件同时满足。左开右闭吧，选择a选项完事。要解的特别顺畅，解法非常明确才行，就这些每一种小类型，它的解法要非常清楚。嗯，那咱们再往下来看。来看例六。

做完回来按下播放键。好啊，咱们来看一下呃例六呢呃，咱们先来判断一下它的类型，右边儿是不是一个常数？而你的x的符号是不还不确定啊，所以你没法左右两侧同乘x你标准解法，就是把三挪到左边去。变成这样。那整理一下，就是x分之一减三x要大于零，那这个就是右边儿为零了啊，直接转化成它俩的乘积大于零。这个没有等号，直接转化出一个式子就行啊，那这个最高次项呢？是个负的，先把它变正。两个根零跟三分之一小于零就取中间。完事儿，这就是最终的这个结果，得把它写上解集。当然，这个题有同学说有没有其他的解法？由于左边呢，是你一个非常熟悉的形式，这是什么反比例函数，所以咱们可以借助图像来理解它。y等于x分之一，那你现在要求是啥？

我要求这个函数值啊，它得大于三才行，那你先让这个函数值等于三。它什么时候等于三x等于三分之一的时候？这个时候y=3，那你现在要求y大于三函数值大于三，你是不是取的就应该是这一段儿？而这一段x的这个范围是啥？是不果然是零到三分之一没问题？两种解法，两种思路。可以整理一下。那咱们再往下啊，来看例七啊12节节。嗯，好啊，来看一下，先来判断类型是不是右边是一个常数？那你就先看能不能左右两侧同乘分母能乘吗？还真的能乘，因为这个分母符号是确定的，你可以算得儿它。啊b方减去CC，它小于零，或者你可以直接给它配方。它肯定是横正的啊，所以它左右两侧可以同乘啊，那就变成了它要小于二倍的这个，那不就是。b选项直接选b就完事儿。

啊a选项不行啊a选项你得是右侧是零才能变成它俩的乘积小于零，右侧是个常数，你是不能这么变的。嗯，好啊，到这儿呢，咱们最基础的啊，高考啊，几乎是啊。肯定会出现的，这种形式高次不等式，跟分式不等式，就给大家说完了啊，不难。算是偏基础内容，大家一定啊要100%的这个掌握才可以，那咱们今天这节课过后啊，大家一定要记得把课后推题解了，这样才能保证自己听到的内容100%的掌握了，这个对于咱们。一轮复习很重要，因为咱们一轮查缺补漏，目的就是过完一遍就不，不要再留有这个遗憾了，另外呢，如果跳出了评价框，别忘了一键三评，这个大家就按照自己最直观的感觉，你的真实想法去评价。就行了，但是一定要记得评价一下，那咱们就在下一个视频见啦，拜拜。

资源目录

1.1.1.1 高次不等式与分式不等式(一轮).mp4

1.1.2.1 指对不等式(一轮).mp4

1.1.2.2 函数不等式与超越不等式(一轮).mp4

1.2.1.1 均值不等式及其直接应用(一轮).mp4

1.2.1.2 均值不等式的拓展(一轮).mp4

1.3.1.1 二次恒成立模型(一轮).mp4

1.3.2.1 二次函数根的分布模型(一轮).mp4

1.4.1.1 高考数学必备数学常识(一轮).mp4

1.4.2.1 恒成立与恒定性命题应试技巧(上)(一轮).mp4

1.4.2.2 恒成立与恒定性命题应试技巧(下)(一轮).mp4

2.1.1.2 分式型函数值域和最值(一轮).mp4

2.1.1.3 二次比一次型分式最值速算技巧(一轮).mp4

2.1.1.4 二次比二次型分式最值速算技巧(一轮).mp4

2.2.2.1 奇偶性与对称性的判断(一轮).mp4

2.2.2.2 常见奇偶函数的速算(一轮).mp4

2.2.2.3 对称性求和速解技巧(一轮).mp4

3.4.1.2 端点恒成立(上)(一轮).mp4

3.4.1.3 端点恒成立(下)(一轮).mp4

3.4.1.4 中间点恒成立(上)(一轮).mp4

3.4.1.5 中间点恒成立(下)(一轮).mp4

3.4.1.8 幂指函数恒成立问题速解技巧(一轮).mp4

3.4.1.9 恒成立与零点存在性中的同构问题(一轮).mp4

4.3.2.2 非sin齐次式——边换角用三角恒等变换(一轮).mp4

5.1.1.2 向量拆分法与极化恒等式(一轮).mp4

5.1.1.3 向量几何投影法(一轮).mp4

6.2.1.1 通项型数列选择速解技巧(一轮).mp4

6.2.2.1 累加法与累乘法(一轮).mp4

6.2.2.2 一阶线性递推求通项(一轮).mp4

6.2.2.3 利用辅助数列求通项(一轮).mp4

6.2.2.4 无辅助数列递推求通项(一轮).mp4

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