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hello各位同学大家好，这是胡源，接下来胡源带各位进入到咱们总复习过程中的最基础的部分，也是在整个儿高三的所有题目和考卷儿中应用比例最高的部分。也就是咱们通用数学基础里的不等式解法，那么首先从最常用也是相对比较基础，咱们高中刚上高一就应该学到的高次不等式。与分式不等式的解法带各位入手，那我们都知道啊，不等式之于高考就相当于方程之于中考，如果你不会解方程去参加中考，你什么题都做不了。除了算数的题，剩下只要带个字母，你就不会解方程，那就没法做，那到高考里呢，只要是个求范围。的问题你就都需要解，不等式对吧？所以实际上呢，我们一定要重视我们的基础，不等式的解法基础，不等式的解法将决定你在各个模块儿的题目里的做题速度。算答案的速度以及正确率，很多题目你不是因为那个模块儿的知识有问题或者方法有问题，做不对是因为你最后哎，那个模块儿的知识方法内容公式全用对了，结果到最后一步是一个解不等式。解的不好，差了一个负号区间，取反了，开币取错了，最后直接分儿全没那多可惜，所以咱们一开始就要把这样的通用基础打好，那首先呢，我们。解不等式啊，其实各位一开始就会一些，我们先从二次不等式引入二次不等式呢，我就不写笔记了，因为各位都知道二次不等式的核心就是跟解二次方程很像，你就画一个开口儿向上的抛物线。或者画一个开口向下的抛物线，然后看一看它大于零小于零，你要取中间儿还是取两边儿就可以了啊？那这个时候呢，很多时候有同学说那我要记哎，取中间儿取两边儿的口诀嘛，不需要。你如果进入高考考场，连一个二次不等式，你还不能画图，具体情况具体分析的话，那你把数学学的也太死板了，那你就拿这问题为例啊，这个在高考中是基础中的基础。江苏卷儿的一个送分儿题是吧？说这玩意儿的定域，那定域自然是什么？

自然是分啊根式下大于等于零对吧？所以应该是负x方。加上6 x+7大于等于零，我们习惯于把最高次项调成正号儿，所以你把负号儿给我去了两边儿，同时加负号儿基本的不等式处理。减6 x- 7是不是就要小于等于零啊？这步编号各位肯定是应该会的，那当这个编号处理完之后呢？我怎么办？二次不等式就跟二次方程一样，因式分解能因式分解就因式分解x- 7。乘以x+1，那这时候呢，要小于等于零，那你明显看到它是一个开口向上的抛物线。于是呢，我们画个图，开口向上。所以啊，两个根一个根是负一对吧？这个根负一这个得零呢根是正七，别忘了我要小于等于零，所以取中间儿，由于你要的是B区间，所以就是负一。到七的B区间哎，这就是二次不等式解法，非常简单，那真正到高中用的多的也是高中最开始有。

一点点难度，那就是高次不等式了，那其实二次不等式啊，是高次不等式，一个简化版本啊，就是二次嘛。啊，就属于我们正常算的那到三次四次五次六次幂，那就是高次不等式，那所以呢，我们接下来来进入到关键的部分，也就是什么呢？高次不等式的解法。啊，高次不等式，那高次不等式用的方法，其实同学应该听说过，叫做穿线法。不同的地方叫法不一样，有的地方的老师呢？管它叫穿根法，有的叫数轴标根或者叫数轴穿线，数轴穿根说的都是这件事儿。啊，它里边有一个口诀叫击穿偶穿，只要说的是击穿偶穿，说的就是这件事儿，那什么击穿偶穿怎么用呢？我们来给各位讲一讲。首先呢，高次不等式的解法，我们就拿一个函数为例啊。首先一个函数写成这样，我能因式分解，一定要因式分解好，写出来之后呢，这有个系数a是个系数。乘以x-x一因式分解之后呢？这个有个。次数对吧？然后比如说这是n一次方啊，比如说二次方，三次方，五次方对吧，然后乘以什么呢x-x二？

n二次方再乘以x-x三。n三次方点儿点儿点儿。哎，一直往后乘啊，一直往后乘，那这就是一个显示高次米，因为比如说n1n2n3是它的指数，它的指数可能有很多个指数形式，对吧？比如说一次指数，一次米，二次米，三次米。它的肩膀的密次可以很高次，所以这是一个高次函数，我要解这个式子呀，大于或者小于等于零啊，可能是大于可能是大于等于可能是小于可能是小于等于。这样一个式子，那么在计算它的时候怎么算呢？那我们这时候就要用数轴标根的方式怎么讲来啊？详细给各位去说明一下第一步。叫什么呢？叫数轴标根。把数轴画出来。把所有的根标出来。哎，数轴标杆举个例子，我们就拿这十个来说诶。先画一个数轴，把这几个根啊，由小到大x1。x2。x3标出来，标出来之后呢，我就要开始做第二步，叫做穿线。哎，第二步穿线怎么穿这个线呢啊？怎么穿这个线呢？就是它需要注意。最高次项的系数。也就是那个a。啊，就是注意这个东西，那这种怎么注意哎？我们有两种做法，第一种做法。啊，第一种做法法一。有一种方式是什么呢？叫做我可以调正负号，就像刚才这题一样，各位记得吗？这儿有个负号。所以怎么办呀？我把这符号去了。调什么呢？调系数为正。哎，注意调的是最高四项系数为正，所以把这符号去了，这是一种做法，那么所以那时候我们可以哎，第一种方法叫做。缴系数为正。通过不等式两边同时变号的方法来调这个a为正。调a为正，那这时候啊，如果a是正的，就相当于二次函数，就是开口儿向上的，那这时候如果是高次函数呢？你的穿线的起点就是从右上开始穿。从右上开始穿，那就意味着你要从这个点开始往下穿线啊，怎么走一会儿怎么穿再说，但是你的起点。就在右上方，为什么起点在右上方呢？意思就是x取无穷大的时候。x等于正无穷时，因为右侧嘛，就是x轴无限大的时候，因为你最高次项系数为正。所以呢，你每个括号都是正的，因为每个括号都是x减根x减根那x无穷大那x减任何一个根，它都是正的，那你a又是正的，你整个系数就是正的。啊，那这时候呢？f正无穷是大于零的，于是从右上传啊，这叫从右上传。啊，那这时候呢，还有一个办法，我们来类比一下，你看这道二次函数的题啊，我们还有一个做法，就是不调系数。叫负的x方加6 x+7是吧？大于等于零，我直接因式分解变成负的x- 7。x+1大于等于零，那这时候怎么考虑啊？这时候啊，你如果画它是开口向下，你看我的系数虽然没有调为正。那我就调开口呗，那一个开口向下的抛物线，一个根是负一，一根根是正七，让你大于等于零，你看这个图。比坐标轴要靠上，是不是取证你也能得到？负一到七这个区间。

所以呢，二次函数你可以调系数为正，也可以不调系数为正来看开口儿，那我们高次也一样，那于是还有法二是怎么样呢？叫做法二我们来看啊。反而就是什么呢？反而就是哎，不用管a就是a最高次项系数。最高次项的系数。怎么样呢？a为正式。就是大于零时啊v ja为正，或者a大于零时。跟刚才一样，从右上传。那如果a小于零时呢？你就从右下传。为什么a小于零从右下穿呀？因为a小于零的时候啊x等于正无穷时。f正无穷，你想啊x无限大，每一个根，每一个括号，你看每一个括号都是正的，因为x特别大嘛，每一个括号都是正的，但是你a是负的。一个正数乘一个负的a，那在x无限大的时候，这个函数算出来是不是一个负数？那既然是一个负数，它应该比坐标轴低，也就这时候呢？它是。为负的也就是小于零的，那于是你应该从这儿时候开始串，这就是右线。所以呢，两种办法，一种办法，你把所有系数都调为正，一种办法就是根据最高次项的政府不挑系数，我个人推荐哪个？我推荐的是不要调系数。

因为调系数万一调错了怎么办呢？万一你调了系数，右边的不等号忘调了怎么办呢？所以尽量啊。找动原函数啊，直接因而分解完之后直接看那标完根之后第二。这个穿线的时候有什么原则呢？第三，这时候注意啊。你从哪儿开始穿？是你线的起点啊，各位应该见过你，可能没有缝过东西，但你可能见过爸妈哎，缝过衣服啊，缝过袜子呀，对吧？那个穿线是不是穿到？这个布的里边再穿出来对吧？那这时候我们这里边儿怎么穿呀？那各位要注意有一个口诀叫做击穿偶穿。也就是基数。奇穿偶不穿，注意这个奇偶指什么啊？奇偶指什么？指的是这个东西？不是x1x2x3不是根，是你这个括号的密次。这些东西看的是密次的奇偶。miss是奇数。

还是偶数。决定击穿。哦，不穿，但注意这种不穿的呀，是指的是过。但不穿。什么叫过当不穿这点在这儿这样，我去叫穿过去。到这儿回去了，叫过这儿，哎，不穿是吧？都讲过典故什么翻过家门而不入，就是到了门口又回去了，这叫过这儿。但没穿过去啊，好，那有了这个之后呢，你就能把穿线图完成了，那穿线图完成之后第三步就要根据什么呀，这时候就根据大于零还是小于等于零？不等式所要的是大于还是小于等于零？来什么呢？来取区间。注意开闭啊，取区间即可，也要注意开闭，我们在。初一的时候就讲过，其实在数轴上标范围，当时强调的是你取等叫做。实心圈儿不取等，叫做空心圈儿，那这儿我们也要注意好，那穿线法带各位复习完了，我们就拿一些题来看看吧，比如拿这个为例。啊，这第一道题给你因式分解好了怎么办？第一件事儿是因式分解好了对吧？第一件事儿数轴标根来。这个数轴画在这儿。符合哪一点数轴标根从小到大标，你看这个根是x=- 2。

这跟上x=1 x=2 x=3好这个跟。负二。这跟一这跟二这跟三。然后呢？要注意什么？首先注意标点，这是小于等于号儿，所以这些都是实心圈儿。可取等的实行权，然后想最高资项系数是什么呀？你看这是正x。对吧，这是正x正x正x，你最高次项系数为正，所以从右上传，从这个点开始往下走。然后再注意击穿偶不穿对吧，你看所有括号里x都是正的，所以从右上穿那击穿偶不穿那，咱们看密词啊。这是二次幂。剩下都是一次幂，那这时候不是看一二三啊，最常见的错误说法，你说这是三穿二不穿，你说这二是偶数，不是看根是奇数，偶数那根还能是？小数点儿呢，比如说x- 1点儿五，那它是个分数，你咋算呀？所以不是看根根是可以是整数也可以分数还可以是无理数，咱们看的不是根啊，这是不对的。咱们要看的是肩膀的幂次，那你看啊，这个三的幂次呀，是个奇数幂对吧？x- 3是一次，所以这个。这三个都是基次米，所以就意味着这三个括号出来的跟一二三都是要。穿的因为x-1x2-x三的肩膀儿是一次幂奇数次幂，所以呢，穿的意思就是来从这儿走穿过去。穿回来再穿过去，这个叫穿过去。那么过这个点，而且穿下去这三个地方是穿的，那再来看这个地方，这个二次幂可是偶次幂，那就意味着x+2这个音是这个地方。是不穿的，那不穿怎么叫不穿呢？来看叫做要三过家门而不入是吧？到这儿但不能进去，这就叫穿过去了，不行你得到这个地方。然后再下来，这样才行，你直接说不穿了，那就这样，这是错的啊，你没到那个点，你得到那儿，但不穿。来到那儿再回来，这才是对的，所以呢，在这种情况下呢，我要小于等于零看阶级来标阶级。唉，那这个红色阴影部分就是姐姐，但注意小于等于零，所以这实心圈儿也要因此写答案，这个红圈儿里的部分是一个区间，你不要写成俩。它没断开是负无穷，一直到一所以最后写区间就是哎x阶级属于负无穷到1B区间。并上二到三。B区间这叫数轴标根，然后穿线法那来我们看下边这道题。这个呢，是一样的，但就增加了一下难度miss高了一些，那来第一步，我们加快速度传线。竖着画在这儿标根，首先最小根呢，是你看这儿小于零了，所以标空心圈儿负五。空心圈儿负四，空心圈儿正二，这是你的三个根，那这时候要注意从哪儿穿，你要小心一点啊你看。这块是减x的三次幂。所以x的项是几啊，这是负x-x的三次幂，所以你会发现这玩意儿的最后四项啊。它是负的啊，它的最高资项是负的，所以这道题因为你这是负的，你看把这三次幂展开是不是会出负x立方？

那应该从右下传。如果你不调最高资项系数，就应该从右下转，于是呢，你就知道这道题从右下走。往下右下走对吧？一会儿我再说，怎么调最高次项系数？那从右下走完之后，那往上看来击穿偶穿来看字数哪儿是偶次幂？这个地方是偶次幂，所以谁不穿啊？这个根是谁？是它这个地方不穿。而这个一次米。

和这个三次幂这两个地方都是要穿的。那么就来看看吧，从右下开始走来看右下走穿。不四穿五，不穿过而不穿这样。也叫不传，那小于零注意小于零不渠道，所以打阴影小于零。小于零。小于零这几部分，但这大家要注意，由于这种情况下，这个五是空心圈儿，所以x属于负无穷。到负五开区间，并上负五到负四开区间，再并上二到正无穷。答案好，那这个叫什么呢？叫不调系数那么法二。我们再试试啊，我们说你可以调最高四项系数为正，那怎么调？你看啊，调a为正。怎么挑a为正呢？那你看x+4这个不用动x是正的x+5^2也不用都是正的，你看这个地方本来是。二减x的立方小于零。那我现在想把二减x变成x减二。

你看看左边如果做了这样一个变化，那左边是不是相当于？左边变了个负号啊，因为你把这个东西变成它是不会多一个负一倍出来，那右边就得大于零。这叫调系数为正啊，调a为正，那你再看这个式子，那就从右上穿了。那么回来你看画这个图。从标杆。负五负四正二右上穿谁不穿？还是这个点不穿？于是做法一样，看着啊。

穿穿不穿，但你要的是大于等于零，所以这是打阴影，就是这几个部分。但你看出来的范围验是什么？验是负无穷到负五并上负五到负四。再并上二到正无穷。所以在这样的情况下，不管你调不调，系数为正出来答案都一样，我建议用左边儿就不调，系数为正会区分这个最高级就系数是正是负知道从右上还是右下穿就好了。好，那再往下看，你说这个问题也是一个高次不等式，但这个高次不等式，你发现左边儿没因式分解怎么办？一定非要因式分解吗？求根公式能不能代替形式分解啊？一样可以啊，那咱们就来求根公式求一下。求根公式代替因式分解，所以x等于求公式二分之负一加减根号五就是这个里边儿的根。所以能把这式子通过求根公式变成x减，第一个根是二分之负一减根号五，然后再乘以x减去。二分之负一加根号五。对吧，你通过求根公式把这个不可因式分解的强行因式分解，那再乘以x- 1小于零即可，您看这就能穿线了。我来画图哎，最这时候你得比个大小啊，经过比较各位这几个数，这两个根和一的大小各应该会比比出来一最大。然后二分之负一加根号，五根号五，各位得知道大概约等于二点二三六减一除以二约等于零点六左右。然后呢？这个二分之负一减根号五那来你看系数都是正的，从右上传。所有都是一次幂，都是奇数次幂，全都是穿的，所以图一画长这样要小于零。

所以这部分因此答案。负无穷到二分之，负一减根号五的开区间。并上二分之负一，加根号五到一的开区间好，那这部分就搞定了，所以通过这几道题，各位就知道其实高次不等式，截起来挺容易的标完根。穿线确定从哪儿穿，穿还是不穿就完了，那接下来呢，我们还得回分式不等式。有人说，老师分式不等式跟高次不等式是两个不等式啊，你为什么放在一起讲呢？啊，高考千万别把各种东西学的很多很杂，数学呀，是越统一越一致，可以用一个思想解决更多的问题，你这样最后数学的体系才是完备的。你要说两个明明能一起用一个方法做东西，你非得当成两个，那你不就学乱了吗？所以各跟各位讲分式不等式跟高度不等式没有区别一样的，所以第二个来分式不等式的解法。来分式不等式的解法好，那分式不等式解法怎么做呢？就有两种解法。

然后第一个。叫做什么呢？叫做与高次不等式类似。怎么与高斯不等式类似呢？就是用我们刚讲的穿线法。啊，就是用我们刚才讲的川宪法，只不过呢，你需要注意的是，由于它有分母，所以你就要注意的是分母。的根因为分母不能等于零啊，分式啊，对吧？所以不管你不等号儿取的是取不取，等你分母的根永远画空空心圈儿。对吧？b为空心圈儿啊，这写的不太清楚，重新写一下空心圈儿。啊，就一样了，所以这里我们举个例子啊，拿一个例子说，你就知道为什么，我说这跟高次不等式一模儿一样了来看。例如。我们拿这部等式举例x- 1^2。乘以三减x的一次方。除以什么呢？

除以x+2和x+1的三次方，我现在要这个大于等于零的阶级。这明显是一个高次。分式不等式，对吧？那怎么做呢？我想用类似于穿线法的方式，你就不用管这个东西，你就看。一样看次密，首先窗根来数轴。在这一画。怎么穿根啊？首先把所有根标出来，分母这根有个负二，这根有个负一分子，有个一和三。但标的时候注意，我说了分母儿跟b为空心圈儿，因为分母儿永远不能得零，所以分母儿的跟负一负二。标成空心圈标大一点。通信圈分子的根，因为你能取到其他的根标成实信圈。哎，标根算标完了，空心圈儿，实心圈儿都标好根才算标完，那这些标完之后怎么办呢？穿线你看最高次密在哪儿？

注意，这些都是正的，但这儿可有一个负x，对不对？不x一次幂，所以应该从哪穿啊？你最高四项只有一个负x，所以应该从右下传。那从右下穿再关注奇穿偶穿，看这里哪个根是偶数，就这个根是偶数。这个跟的幂四啊，不是根是偶数啊，叫幂四是偶数，所以只有这个跟正一。

x等x- 1是二次米，所以x- 1这个跟一是不穿的，其他都穿那来穿吧。看着啊。从右下开始三要穿。正一不穿到这儿回去，其他都穿，穿过来穿过去行了，这图就这样画出来了，然后问你解题。直接就是什么呀，要大于等于零来打，阴影大于等于零。啊，就是它，所以注意啊，这个一是实心圈儿可以取到，所以中间儿这两个范围应该是都要的，所以最后出来就是负无穷到负二。拆区间并上不一到三。B区间啊，不好意思负一是左开这儿要小心，不以左边儿开的，因为你分母为零，左开右闭区间，这个就是什么呢？就是用穿线法来看，那就说老师分式为什么也能用刚才的穿线法呀？因为其实啊，我是把它视为。

把这不等式视，为什么呀？视为x- 1^2。三减x的一次方，然后注意叫x加二的负一次方和x加一的。负三次方大于等于零，因为分母的幂次是不是就等于分子的负数次幂？对吧哎，分分母有一个一次米就相当于整个是一个负一次米，对吧？一÷x的三次米。等于x的负三次幂，那其实一样，你看这两个负数次幂不也是奇数吗？对吧，一样做，你只要关注分母不为零分母画，空心圈儿即可，那这个就是高次不等式用穿线法来解的思想，那这个呢，是我推荐各位的做法。推荐各位。分式用这种方式来做，那既然我推荐，就意味着一定还有别的方式，比如各位在学校或者有其他老师可能会教各位别的方式，那别的方式的弊端。就是方式不统一，你发现高次和分式，你要用两种方法，你思维负担会更乱，也容易错，那么来跟各位说一下别的做法。他们是什么意思啊？那别的做法的本质是要把分式变成整式，那变成整式。思路二，化为整式。就把分母先去了，化为整式，也就是高次型。再去做，然后呢？你想把一个分式化为整式，那就得区分了。

对吧，在你区分母的时候，你就要小心。去分母的时候正负号怎么办？对吧？然后你就得关注首先分母不等于零。分母等于零，哪儿行啊啊？你去掉的分母哎，去掉的分母，你首先得标注分母不为零，然后再去分母的同时啊，你要关注正负号。那这时候怎么办呢？一般来讲的处理啊，是把分母直接乘到分子上，什么意思呢？叫做fx。除以gx，比如说这个东西大于零。那它等价于什么或者大于等于零，等价于什么？你甭管gs增幅，就等价于看着啊。我这么写叫fx÷gx这个东西，我乘个g方x行不行？因为g方一定是个大于等于零的数啊，那你乘以大于等于零的数是不会变号的，且gx不等于零，因为你。

gx方万一得零，那不完蛋了吗？对吧？所以就等价于这两件事儿，分母不为零，而且同时乘一个分母的平方，那其实就等价于。fx×gx。大于等于零，然后呢，底下gx不等于零，所以其实哎，你就会见到还有一种做法，但这个做法我不推荐。就是分式不等式，哎，叫做什么呢？相除大于或相除小于零，然后你就直接老师就跟你说一分式不等式相除怎么样？你直接变成分子分母相乘，你就蒙了，为什么分子分母可以相乘？我现在告诉你了。相当于乘了分母的平方，没有编号，所以实际上一个分式不等式，你也可以永远把分子分母相乘。然后大于零小于零，不用变去求解，但这时候你需要额外注意分母不为零，所以这就容易丢啊，这是我不推荐的原因，你还得倒它，何必呢？我直接不用倒，直接穿线不好。啊，那来啊，拿刚这式子为例。啊，咱们还是拿这个十字为例。对吧？那这为例x- 1^2。三减x的一次方。除以x+2乘，以x+1的立方大于等于零。那拿这个为例，它就直接等价于什么呀？直接把分母分子相乘，就等价于两件事儿，第一件事儿，分子分母相乘x- 1^2。三减x的一次，方x加二的一次，方x加一的三次，方分子分母相乘大于等于零不变号。啊，永远不变号，然后且什么呀，且分母x+2，然后x+1的立方不等于零。那你就是看吧，上边儿是可以穿线了。就是一个高次不等式。穿线穿线呢，因为你是大于零，你全穿实心圈儿负二。负一正一正三注意从右下穿，然后这个正一次方不穿，于是就变成这样。是这个图也没问题，图也对对吧？你看这个图跟上面图一模一样对吧？哎，图也对，然后于是你打阴影。算出来什么呢？算出来哦x属于负无穷到负二。并上什么呀？并上负一到三。到这儿就容易错，然后你还得加上个什么呀，底下这个因为不等于零，所以x不等于负1x不等于负二。算到这儿，再挖俩根，所以最后才得到，你得把负二和负一这俩根挖掉，所以得到x属于负无穷到负二的开。并上负一到三的左开右闭，答案才跟刚才一模一样，但是你看是不是就算出一个东西，但开闭不对，你还再单挖就会麻烦。所以不如怎么样，不如直接照我说的，你就按我们的高次穿线，这样的话，你在标跟的时候就已经把实心圈儿空心圈儿直接标对了，就没有最最后再。扣掉区间端点，这事儿就少错嘛啊，而且你方法是统一的啊，这样的话呢，分式就跟各位说完了，我们来看看题吧。这回的题就好做了，先看第一道题，直接穿现在穿线，各位应该熟了直接穿来。看根负二首先小于等于零是吧？这个负二。一三四注意分母为零画空心圈儿三和四画空心圈儿，剩下小于等于零画实心圈儿。从哪儿出来？你看系数x圈儿正的。从右上传哪儿穿，偶不穿谁是偶次幂，只有x减。一是偶次幂，所以这个东西不穿。那这个东西不穿，于是右上开始来穿，穿不穿穿图画出来了，小于等于零。这两部分于是答案。负无穷到负2B区间，你看时间圈儿B区间，不用担心了，并上负三到呃正三到正四的开区间。你看空心圈儿，心圈标好了，你都不用再分子，分母倒一遍，再写一个式子，直接串好吧，但各位同学这儿要小心啊，你看这道题就是我自己出的题啊，把我自己坑了。你要关注小于等于零，你看一这个点。这是不是还能等于一啊？这个点是不是应该正好儿属于小于等于零，所以这个点要单独加上，因此最后的答案出来。应该是这个结果再并成个一，这样才是一个真正完整的我们想要的结果，唉，所以呢，这个咱们就说完了。

右边这个注意能直接穿吗？不行，右边儿必须划为零，所以一定先把右侧划成零啊，这道题指导各位，如果你分式不等式，右侧不是零不能行，那你要通分过来说把分母传过去也别。分母只要乘到右侧，你就要考虑变号不变号，那你就讨论去吧，我不喜欢分类讨论，反正我会回避分类讨论，我也教你回避分类讨论，就把它减过来通分。

所以式子呀，就是x方减x+14。除以x方减3 x+4要减二把二减过来，那通分之后呢？就是负。x方。加上5x，再加六。除以x方减3 x+4，那是不是该因式分解了分子呢？明显能因式分解提个负号。x- 6 x+1就分子因式分解应该不难，然后分母呢？你发现分母了，你死活一是分解不了，于是你一试发现分母是个。纯大于零的，因为一配方减二分之三的平方，加上四分之七。哎，这是大于零的分母横横，那你就不用管分母了，说这个式子，你把这二减过来了，是不是就要小于等于零？那咱们直接穿线分母没有根，你甭管分母了，那看分子分子俩根一个跟什么呀，实心圈儿分子跟都是实心圈儿负一。和正六注意前头有个负号，所以从右下传。最开始前头有个符号，右下传两个都是一次幂，所以穿穿因而小于等于零，应该要两部分。啊小于等于零要两部分，所以答案x属于负无穷到v1。并上六道正无穷。出来啊，所以这个告诉各位分式，你要注意调右侧为正，那往下看吧，相当这种分式怎么做呀？你看这种分式就考试里经常出，或者你在一些运算什么？

三角形三角函数最后换位元变成这种分式立体几何，最后一步变成这种分式解析几何，最后一步变成这种分式。有人说，老师，我拆分常数化反比例，那累死直接穿线。来小于等于零直接穿线，你说上下一次幂穿呗。哎，你说穿线法高次密，能用二次密也能用你分式这个一次除一次还能用啊俩根来找。两个人什么分子得零实心圈儿，正一分母得零空心圈儿，负二分之一，因为分母是空心圈儿啊，哪儿穿呀？你看x正的。2x也是正的，从右上传。全都是分子一次幂，分母一次幂，都是穿的直接穿完了，小于等于零取中间儿对吧？那负二分之一的开到一的b选a多快？不必倒什么反比例，没必要啊，别做出来了，那再往下，我们再看这个。

你说这怎么办啊？老师，这不会做了，这个不就是看着啊，我们先做的是难的，往后反而简单，考试里遇到的反而简单，你看这个题。就这小于等于二，你需要把二减出来，这道题跟这道题一次比一次u2是零呢，这俩一结合是不是这道题啊？你右边是三三，你得减过来呀，你把右边变成零，所以就变成什么x分之一减三。大于零同分x分之一减三x大于零，这是不是就是分式了穿线？一个跟都是空心圈儿，因为大于零，一个跟是零，一个跟三分之一分母为零嘛，对吧？那穿线注意上边儿是负三x。有一个负号，所以从右下传。那由下一串来。翻穿要大于等于零取中间零到三分之一。省事儿嘛，对吧？

那说老师这题有没有别的做法？当然也有是吧？不能说有反比例跟你说不能用反比例也不是能用反比例，对吧？来我们看看怎么用反比例来处理，它很简单，但这时候提醒各位啊，这里边儿只有x分之一x分之二这种东西。可以用反比例来处理第三件事儿，纯反比例函数。借助图像。就前提图像一定很好画。啊，前提一定很好画，那什么叫纯反比例函数呢？

比如说举个例子啊，不x分之一小于等于二这件事儿。你可以画它的图。负x分之一是二次象限的反比例。哎，负的x分之一那二在哪儿啊？这是y等于负x分之一再画一条线y等于二这条线是y。等于二那这个交点你应该好解，两者相等，这个交点应该是负二分之一，那这时候你看不的x分之一要低，它要小嘛，就意味着低。你的曲线要在下边儿，就是这部分和这部分吧，所以解出来就是能得到x属于负无穷B区间到负二分之一。并上这个零到正无穷的开。可以的啊，你要想这么做也没问题啊，就这种图一定要好画，但此时如果你是ax+b分值什么？对吧，随便写一个像什么x减一分之二x加一，这时候就不要了，因为这图就不好画了，只有纯反比例。你画画图，有的时候还我觉得这方法你还可以用，不是纯family就不要画图，直接用分线来做好吧，那所以呢，刚才这道题。你说我要花反比例也行啊，这x分之一纯反比例。所以呢，这是x分之一，然后y等于三在这儿，这是y等于三，于是这个焦点啊，显然是三分之一的位置。谁高啊？x分之一要高一些，因为它大，所以取出来只有这个部分反比例在。这个水平的y=3上方，所以零到。三分之一的开区间。也可以啊，但这个我还是觉得啊，穿宪法用手，那最后我们来看这样一道考试里出现综合变化的问题，其实就把刚才咱们这一讲的所有内容综到一起。首先问与这个不等式解集相同的，你看它是怎么变的？首先你看啊，这式子干了一些什么？这是的，因为诶，老师这对呀，你不当时说的是分母，因为你看这分母是x+1^2再加二。肯定是大于零，不会等于零的，那时候老师你看这是分子，不是把分子和分母相除关系变成相乘吗？唉，这对呀，注意你直接把分母乘到分子上，答案是对的，前提是右边儿得是零，你右边儿如果是二，你别忘了我讲过原理，这个原理相当于什么？相当于把这式子同乘了个g方，如果你这是二。

你右边儿二也得乘以g方啊，你你两边儿同乘啊，同时乘啊，右边儿我不乘是因为右边儿是零，所以不用乘以g方，但现在你不是零是二。对吧，严格来讲，这其实相当于它成也成了个g方x。两边儿同时生了个g方x吧，对吧？那你看你这是二啊，你你你这儿缺了个什么呀？你这儿缺了个。它得乘个x方加2 x+3^2才对呀，所以a不对呀，很坑人啊，右侧它没有乘以分母的平方。啊，因为右侧不是零得乘那底下来看这个呢，这相当于什么？相当于你看这个选项，相当于直接把分母。乘到右侧来，可不可以呀？同时乘以分母，相当于把左下的分母乘到右上，这是初中的运算，你只要这东西大于零即可，那这式子是大于零，不用变号儿。那乘过去2b是对的呀，那你看c呢c是把左上这个东西挪到右下来，那你问一下x+8。是不是可大于零，可小于零，它不一定啊，那你除下来这个号儿变不变，你就不一定了，你就不好说了，你直接写不变号儿就有可能错，因为x+8是负数的时候就得变号儿，所以c错了。4d呢。4d相当于什么4d你看啊，相当于把x+8÷x^2加上2 x+3小于二。做了个什么？做了个把这个交到这儿，把这个交叉到这儿，把二换过去了，那你别忘了。我把这个东西挪到右上是可以的，因为它是个正数，但是你把这个东西挪到下头来，它可就可正可负了。那你动了x+8 x+8是一个可正可负的，你把它从分子挪到了那边的分母。分子分母对调了它的符号就可能变，可能不变，于是4d也不好说，因此这题选2b。啊，这样的话呢，咱们分式和高次不等式的解法就给各位完整讲完了，这一讲内容不难，很基本，如果你程度比较好，其实这一讲呢是各位本来就会的，但如果程度比较弱，这讲内容各位一定要踏踏实实练到尾。好吧，这个到后边非常重要，也是咱们高三一轮儿最初级的基础内容好，那这时候呢，各位别忘了视频，看完之后右侧弹出评价框儿，一定根据你的情况哎，做完评价。点击提交再去看后面的视频好，那这一讲咱们就给各位讲到这儿，这是于二哥数学原来如此简单，我们下讲再见。

资源目录

1 数学通用基础\1.1.1.1 高次不等式与分式不等式(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.1.2.1 指对不等式(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.1.2.2 函数不等式与超越不等式(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.2.1.1 均值不等式及其直接应用(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.2.1.2 均值不等式的拓展(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.3.1.1 二次恒成立模型(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.3.2.1 二次函数根的分布模型(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.4.1.1 高考数学必备数学常识(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.4.2.1 恒成立与恒定性命题应试技巧(上)(一轮).mp4

1 数学通用基础\1.4.2.2 恒成立与恒定性命题应试技巧(下)(一轮).mp4

2 函数\2.1.1.2 分式型函数值域和最值(一轮).mp4

2 函数\2.1.1.3 二次比一次型分式最值速算技巧(一轮).mp4

2 函数\2.1.1.4 二次比二次型分式最值速算技巧(一轮).mp4

2 函数\2.2.2.1 奇偶性与对称性的判断(一轮.mp4

2 函数\2.2.2.2 常见奇偶函数的速算(一轮).mp4

2 函数\2.2.2.3 对称性求和速解技巧(一轮).mp4

3 导数及其应用\3.4.1.2 端点恒成立(上)(一轮).mp4

3 导数及其应用\3.4.1.3 端点恒成立(下)(一轮).mp4

3 导数及其应用\3.4.1.4 中间点恒成立(上)(一轮).mp4

3 导数及其应用\3.4.1.5 中间点恒成立(下)(一轮).mp4

3 导数及其应用\3.4.1.8 幂指函数恒成立问题速解技巧(一轮).mp4

3 导数及其应用\3.4.1.9 恒成立与零点存在性中的同构问题(一轮).mp4

4 三角函数\4.3.2.2 非sin齐次式——边换角用三角恒等变换(一轮).mp4

5 平面向量\5.1.1.2 向量拆分法与极化恒等式(一轮).mp4

5 平面向量\5.1.1.3 向量几何投影法(一轮).mp4

6 数列\6.2.1.1 通项型数列选择速解技巧(一轮).mp4

6 数列\6.2.2.1 累加法与累乘法(一轮).mp4

6 数列\6.2.2.2 一阶线性递推求通项(一轮).mp4

6 数列\6.2.2.3 利用辅助数列求通项(一轮).mp4

6 数列\6.2.2.4 无辅助数列递推求通项(一轮).mp4

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