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倍数特性以及方程法，那么在其中有一部分的内容，我们是放在了提前学里面，给大家已经讲过了，那么这个提前学，大家一定要注意，它是一定要学的。有的人可能会觉得提前学的内容都是不重要的，所以我不学行不行不行的，因为提前学是我们把正常课程中一些相对来说比较好，自学的内容放在了前面，让你先。预习一下，这样学完之后你再听直播课的话，效果就会好很多，听起来会更容易听懂好，那我们。在提前学里面，我们给大家讲过代入排除这种方法，它这数学运算里面是经常用到一种做题的思路。那么什么时候去用呢？主要是两种情况，一个是题型，一个是选项，看这两个那么这里面我们简单的在。回忆一遍特定题型，指的是多位数问题，不定方程问题，年龄问题和余数问题。所谓多位数嘛，就是题目中出现一个三位数，四位数，然后说它十位，百位，千位怎么怎么变这种题目，而不定方程呢，就未知数的个数特别多，方程的个数比较少。那我怎么知道它方程个数少呢？你就看它能列出几个等量关系，就是加减乘除这样的等量关系，你列出几个能列出一个就是一个方程，两个就两个方程。然后你看未知数有几个，如果你发现未知数有两个方程，只有一个或者说未知数有三个。方程只有两个，像这些情况都是属于不定方程的情况，那么年龄问题呢，就更好理解了，年龄问题有题目中出现了。甲乙丙丁，小张小王哥哥弟弟他们的岁数的题目，然后余数问题呢，就题目中出现了除以几余几剩几。多级就分配之后有余数。分配之后，有余数的问题那么像这种几种考法，就是属于最优先考虑特。代入排除的。

好，大家看一下这四种题型有没有疑问？这四种题型其实严格来说都不是什么高频题型，除了不定方程可能考的多一点之外，另外三种其实在真题中出现的概率并不是非常大。但是我们的优点在于，一旦碰到这四种题型的话，我们的第一思路就是代入排除，这样的话就避免了，你还要去想我用方程做好不好做，做了半天，哎，不好做或者说做不出来。然后再绕到那个代入排除就浪费时间了，我们应该第一时间就想着代入好，那我们来看一下第二个。除了以上几种题型之外，第二个就看选项，如果选项的信息给的非常的充分，什么叫信息给的很充分呢？大家想一般的选项，数学题是不是都一个数字啊？对吧？一般的题都是。a选项就是甲等于几，一般都一个数，但是我们这种信息充分的意思就是说。它的一个选项里面可能就两到三个数，比如说甲等于几，乙等于几，丙也等于几，他可能给两到三个数据。那这样的话，我带一个选项进去不就知道了，两三个条件，他们的答案是几了吗？这种选项是一组数的情况。就是属于选项信息很充分的情况，大家看一下能不能理解？就选项信息很充分，指的就是这种选项是一组数据的好，那除此之外还有一种情况，他如果给甲乙丙的比例呢？比如甲甲乙丙丙。这种考法也是我们在国考联考中经常出现的，山东，浙江也出现过这种题目，对吧？就甲乙丙的比例是几比几比几，你在近几年真题中，你肯定会找到这样的题。所以在考试过程中碰到这种给出多个数据或者给出多个数的比例关系的，它都是属于选项是一组数的。好，那接下来我们来看一下，除了这两种情况之外，我们还有一种情况叫做胜二代一，但是呢，我们前几道例题中没有接触到，所以我们到导图中再给大家去总结。

那大家看一下，对于什么时候用代入排除，还有没有什么疑问？好，那接下来我们看一下例一这道题目。一个密码箱的密码是一个三位数，三个数之和是十九十位上比个位上的大二。像这些大题少几要注意顺序啊，十位比个位答案，有时候它出题老师会坑你，他来个个位比十位答案你就错了啊，要看清楚。比如68就是不满足的。好，那么百位上和个位上，它对调对调就倒过来嘛，然后得了一个新的密码，新密码比原来的密码大九十九一样的道理。如果考试题要看清楚，有的题可能考的是原来比新的大99，这里是新的比原来大99，注意谁大谁小，不能看反。然后最后问的问题是原来的密码是多少，那既然问原来的密码，而它是个三位数，它有变化的过程，那不是横起来是个多位数问题吗？所以首先拿到这个题目，考场上你都不要去想什么方程之类的，上来就考虑代入。多位数问题用方程组是很麻烦的，因为我们想要用一个未知数去表示多位数，你需要好几位，比如三位，你需要三个未知数。四位就需要四个未知数，它表示起来就很麻烦，虽然有的题目像这道题可能其实出的并不很难，但是我们不能去赌，说出题老师出的难不难，我们代入是最简单的，对吧？不管题目出的难不难，带起来都很简单，只要是多位数问题。所以我们直接就代入就可以了，那么来看一下。a选项。397首先个位之和三+7+9是不是19没问题吧？加和的时候你可以先加那种。凑成凑那个零的对吧？进价起来比较快，然后再看十位比个位大二也没问题，九比七大二，最后再看对调以后是多少呢？七九三就是中间不变，左右调过来嘛，那调过来之后一看就能发现大99吗？新的密码。

比原来的密码。这明显大了好几百呀，所以这个差99是不对的，所以a选项就排除了，接下来就验证b选项。b选项是586，同样的看一下五+8+6，那没有凑到零的了，我们看一下加出来是不是19啊？还是19吧？加完之后看一下十为八个为六也是答二没问题，然后再看一下调换过来以后六八五。就是左右调过来嘛，然后中间的数不变，685我们看一下是不是大99呢？

我发现果然。600多和500多，本来就差100左右，算一算正好达到99，所以b答案满足所有条件，那既然已经满足了所有条件了。我们还要不要去验证别的条件，同学们？它已经满足所有条件，答案就直接选b了呀，你不需要再看c和d了，不看CD了。什么情况？我才需要再看一下CD呢，就比如说你b选项，它只验证了其中一部分的条件，比如b选项只满足了一句话，只满足了第一句。那这样的话b对了，不一定全对，你得把b要么是满足所有条件，要么是排除所有选项，你才能做出来。所以我们代入排除什么时候才做完了，就是两句话，一个是满足所有条件的选项。就某一选项满足了所有条件。另外一种情况就是我排除了其他选项。排除了所有错误答案。所以在考试过程中，我们遇到这两种情况，以后就不需要再往下做了，比如说我排除ABC，发现ABC都是错的，我就不用验证d了嘛d，肯定就是对的了。对吧，然后我发现b已经满足了所有条件，我脑还看不看CD呢？不看了CD不看了。所以大家考试过程中要注意。不，不要在这里浪费时间，再把CD再看一眼，说我看一看，万一它也是对的呢，不可能。好，大家看一下第一题还有没有什么疑问？其实，代入排除法本身就是一个一种大家都知道的思路，但是考试过程中最大的问题是什么？就是你根本想不到。所以我们在讲每个题的时候，最开始会告诉大家为什么这道题要用代入排除，这才是最重要的。就数学题，很多时候都是你考场上，你想不到代入排除在那列方程列了半天，最后发现捏不出来，算不出来就放弃了，然后考完之后人家告诉你带一下选项就出来了，你说哎呀，我怎么没想到？那就是因为你上课的时候可能就只注意这道题的答案，选什么你没有注意去听，为什么要带入？所以老师在讲每道题，最开始讲的是为什么要带入这一点很重要啊，就方法的选择好，那么来看一下第二题。第二题这道题目。为什么要带入呢？大家想想比比例题更短，对不对？

我们要带入的原因是因为一批月饼礼盒第一周售出了总数的一半多十份。第二周手术，剩下的一半多五分，还剩下20盒。最初采购了几盒呢？那么，如果这道题目我让你判断题型，大家觉得它比较像什么题型？他说，我售出的总数的一半多一点。总数的一半多一点。他有点类似于余数的问题，是余数型的变形。余数的变形，为什么叫变形呢？

因为我们一般的话是直接是除以几余几，一般情况下是直接除以几余几，对吧？一般是。我除以几余几。好，但是我这种变形意思就是说我是总数先除以二好卖出去了，我剩下再给他额外多卖十份，这个多十份是不是就像个零头啊？对吧？它就是多出来了个零头。那多的这个零头呢，就相当于一个余数一样，它就是一个余数的变形，那种考法就类似于总数是100，我除以二，然后再把余数再再扔一个十的零头给你。把这个十多位的余数一样，把它甩出去，所以这种考法的话，你会发现，如果你要列方程，这个方程会列起来很难看的。为什么呢？你想想，比如说你把最初的你设个x的话，那我先售出一半好除以二再多十分，那这个多十分有同学想不清楚到底是加十还是减十？你要想想我这里加时还是减时？我先x我除以二卖出去一半，我再多卖了十份，那我接下来算的不是剩下的分数吗？所以剩下的分数是减十对吧？我万我接下来算的是剩下多少啊？所以是二分之x减十，最开始是x除以二，然后再多卖十个出去，所以剩下的个数是。二分之x减十，然后继续又除以二，然后再多卖五分，那又减五，然后再等于二十，像这样一个方程，像宝塔一样的，你要去解这样的方程。考试的时候是比较容易解错的列，容易列错解也容易解错，所以不建议大家用方程去做，如果用方程可以借看一下老师这个方程的形式。假如你用方程算出来不对，就是这样方程才是对的。好，但很显然，这样用方程做也很麻烦，对吧？而且如果还有一个第三周，那就更麻烦了，像这种考法，如果是国考出题，老师很有可能会出到第三周。所以你还要再向再除一遍的话，那就简直是费劲死了，所以我们在这里也不建议大家用方程，既然是一个余数的变形，那我们就直接采用。带入的思想去做。好，那这个题目我来问一下大家，当然很多同学都看大家都打了余数，所以大家应该都想到代入了，那我们代是怎么代的呢？你代了几项？是带了三项。还是带了一项。

这道题目它是可以只带一项的，大家注意。它是可以只带一项的，为什么呢？我给大家先讲一个道理，叫做居中代入，大家把这四个字记一下。什么叫做居中代入？它的意思就是说。如果题目中有一个最初的数据，最初的数据。好它经过了多步的计算，比如两步三步的计算之后，得到一个最终。最终可验证的数据，可验证的一个数据。最终可验证的一个数据，那这样的话，我就可以带选项的时候不从ABC开始带，我直接先带最中间的BC的选项，居中指的就是。大小居于中间的一般就是BC这样的选项，比如说我带入一个80，比如说我带入一个b80带进来。那如果80待到最后验证完之后，发现比最终的。大了，比最终的结果大了。这说明80这个结果怎么样？我本来最终要得到20盒，结果在80斤的之后，到最后发现比最终的结果20盒要大，说明80是偏大的呀。那就说明80是偏大的。那80都偏大了，比80更大的。CD是不是就错了？80都偏大的话，比80更大的。是不是更偏大？那我就可以把b排除CD，同时也排除这样的话abcd，我就同时排除了三个选项，这不就非常的快吗？大家看一下有没有问题？

好，有的时候还是一个个带吧，别着急，你听完之后你会发现居中带入是非常快的。好看老师给大家举个例子啊，如果我代入的是比如说代入80，如果80是偏大的。如果到了80，发现最后80偏大，那我就排除80这个答案，同时还可以排除什么答案，还可以排除CD，对不对？我还可以把CD也排除。因为CD更大呀。

是这个道理吧好，那如果说我80带进去偏小呢，大家想一想，如果80带进去偏小呢？80代到最后算出来比较小，比正确的答案要小一点，那我就可以把它排除掉什么？比80更小的。a选项一起排掉了，对吧？我可以排除两项好，上面可以排三项。直接选答案，下面可以拍两项。还有一种情况是什么呢？

就是80正好啊，对吧？80单元不就三种情况吗？要么偏大，要么偏小，要么正好，那就直接选b。也是排除三项，所以你会发现我们会遇到三种情况，其中有两种情况都是占优势的，这还不划算吗？同学们。对吧，这两种都是直接选出答案，直接选出答案，这一种呢，是能够排除两个选项，对吧，能够做出一半的答案。我带一次选项，我就有三分之二的概率能够排除三个选项。这不就非常的快了吗？大家想一想是这样的道理吧，所以什么时候用居中代入就是碰到题目中它有一个最初的数据，经过第一周。第二周，像这种变换之后，到最后得出一个数，它告诉你最初和最终的一个数据，这个关系，那么我们就可以想最初的数越大，那最后剩下的月饼肯定越多。我就通过这个关系去带不就可以了吗？好，他就用的最多的这种情况，用的最多的就是余数性的问题，就是这种分东西分到最后还剩多少，这种方法是最好用的。但除此之外的，只要是这种最开始有个钱数，最后剩多少钱的也可以这样做。好，那接下来我们操作一下，大家看。好，那我们带入BC居中选项。带哪个呢，同学们？是带80还是带整百的100好算一点，是不是带整百的呀？对吧？整百更好算呀。整版更好算更优先。好，那我就把c选项100带进来，100带进来的话，我发现第一周卖出了一半多十份，这里不要想数学，就像语文。卖出了一半，是不是卖出了50再多十分？是不是50多时也就卖了60分出去？第一周卖了60分出去，那剩下多少呢？40分对吧？第二周我又卖出了剩下的一半多五分，那又卖出了40的一半又多五分，那就卖了多少？20多五二十五分，那还剩下多少呢？15分呢？对吧，40-25啊，这时我发现还剩下20分，那我就明白了，真实的情况，本题的正确答案是剩下20分。而我这里带入c选项，只带出了剩下15分，那说明正确的答案应该比c选项要大还是小同学们？是不是应该比20啊？比那个c选项要大呀，对吧？你100份带到最后只剩15，所以我括号带到最后剩20，那不括号要比它大才行吗？所以答案要大于100，那就得到答案，只能选4d。这样带一个选项就出来了，就可以省下带两项的时间，因为正常情况，我们如果ABC一个一个带过来，你要带三项才能出答案。但是用这种方法，它能保证你有很大的概率是一项出答案。好，再把这道题思路整理一下。好看到有人说倒着加回去，行不行？倒着加回去也是可以的，但倒着加这种思路呢，也是跟方程一样，容易想错。因为它是倒着算的，所以它运算符号什么都是倒着算的，这样的话，有时候思维上可能就想不明白。比如说这里剩下20份，然后这里一半多五份，那么这一步有的人倒着回去想，可能就把那20份减五份了。他就搞错了，因为这里应该20分加五分，为什么呢？因为你是一半，你是售出了一半多五分，所以你留下的是一半少五分。那你留下的一半少五分是20，你推回去的时候是用这个少五分推回去的，他就容易想错。所以倒着想列方程这道题目，其实都更容易出错，而我直接带一个c发现c选项偏小，答案选d，这是最快捷，而且只用。没有任何人思维上的难度的。好，大家看一下第二。好，有的还观察abcd的选项差距啊，这个的话，其实呃，我们不能保证这个选项差距一定是你想象中的x+20和x什么的。

这个可能是也许人家出了是只是随手写了几个叉二式的选项了，因为它刚好是等差的好。那这道题我们给大家讲了三种思路，但重点推荐的是代入。像那个倒着算那种思路的话，如果大家有什么疑问呢？我们可以到答疑课再去解决，不太推荐大家这种题倒着算啊，因为他如果说第一周第二周第三周，如果他周数太多，你倒着算的话，步骤也很多的。好，那我们来看一下第三题，第三题这种考法在国考也出现过好几次，而且属于非常流行的一种考法，在全国各个省考中都出现过。它无非就是给你几个量，然后说这个的几倍，那个的几倍，那个的几倍，然后他们不断的呈现一些等量关系，对吧？一句话两句话三句话，这样的等量关系。那这种题目我们为什么会想到代入呢？我们为什么不去列方程呢？这么多的倍数。很显然，它的原因是人家问题是问比例关系，答案是一个比例啊，这种情况叫做选项充分吗？所以，选项充分的时候，我与其自己去算二比一比三二比三比四，我还不如直接把这个数往里面带。甲乙丙不是二一三吗？我就把甲当两块钱，乙当一块钱，丙当三块钱，对吧？或者产量当成一吨两吨啊，两吨一吨三吨，直接往里面带去验证不就行了吗？所以这样的话，我相当于所有的条件都已知甲乙丙的产量是已知的，往里面带入去验证，看这两个等量关系对不对？不就很快吗？大家想是这个道理吧。好，总比你自己算，相当于我都告诉你答案是几你往里面验证就可以了，这肯定是比你正常的把它推算出来要快一点的。好，那接下来我们来看啊。那贷的时候我们有两个方式，第一个是。这个第二个是这个，那么先带哪个呢？

按道理来讲都一样。但是我看了一下之后，我觉得现在第二个好一点。为什么呢？因为第一个它有两倍，有五倍，有四倍，它有三个倍数要算比较麻烦，而第二个呢？只有两倍和五倍，只有两个倍数要算，所以第二个是计算量小一点。我可以优先算优先贷第二个计算量小。计算量小的。条件二好，那条件二的话，我带进来的时候我问了一下大家条件二算式，你列对没有看一下老师的列法啊。丙与甲的。两倍之和。丙与甲的两倍之和，就是甲算两倍，然后再之和，因为它是先说两倍后说之和。所以它是和是最后一步计算，它是先算甲的两倍再算加和啊，等于乙的5倍。那接下来我们就带入选项进来验算一下，带入a选项。那么二比一比三，那就甲是二嘛，乙就是一嘛，丙就是三嘛，看它对不对嘛，对吧？那我们看一下三+2×2=1×5吗？很显然是不对的呀。好，一看就不对，好，再把b选项代入进来，验证验算一下b是二比三比四，那就是甲是二。乙是三，丙是四，就按照他这个顺序，二三四放下来就行了，那我们就会发现诶，这里面四+2×2=3×5吗？更不对了，左边是四+4。右边是实物，这一看也不对啊，好，那再验证最多一项就行了，代入排除不会验证四项的就验证三项，如果都错了，肯定就是第四个答案，对吧？所以CD只要验一个就行，我们看一下c。甲乙丙是三二一，那三二一。好看一下对不对呢？一+6=10吗？不等于所以直接选d。好，这已经是最慢的情况了，大家想一想，因为我们代入排除正常是带一到三项出答案。这才一到三项出答案，我们就算是abcd一个一个带过来，带到最慢的情况，其实也没多慢吧，因为你只要带一个选项，会带了bcd都是一样的套路，对吧？好，大家看一下有没有问题，如果觉得出题老师的第二句话说的不清晰，说的有歧义的同学，一会老师跟你分析一下，你会发现命题人没有歧义。是你自己在这地方没看清楚。你也能合的两倍，肯定是不对的啊，肯定是不对的。好有人说我带条件一，可不可以？当然也可以呀。

好，可以直接用比例贷吗？当然可以了，因为题目中有没有提到甲乙丙的产量到底是多少？没有，所以他问你比例，那你贷的时候相当于我甲乙丙的产量，不知道具体的值，我就按照这个比例。写对应的数进去不就行了吗？题目中有没有问你产量是几吨？对不对？所以我只要就按照它的产量二一三二三四往里面带就行了，那就非常快了呀。好，那接下来我说一下啊，有同学说第二句，他觉得有歧义，那老师来给你分析一下两种写法。如果我说丙与甲的。二倍之和。和丙与甲的。和的2倍。好，我这里可以把它改成叫什么呢？叫做。我们终于出了那个什么。部分擦除了工具了，太好了，好大家看。

上面是什么运算？上面的运算是？和在最后一步是先说丙与甲的两倍，然后再加起来之和对吧？而下面是丙与甲之和。最后说。两倍，大家看明白没有？就最后那一句话，最后那句那个字，它讲的是几最后一步运算，这是最终的运算，所以上面这种运算是最终是算和的。下面这种运算最终是算两倍的，大家看明白没有？

所以上面是丙。加上二甲。就可以了，而下面呢，是丙加上甲先算和，然后再二倍。看明白了吧，按照文字的顺序，它最后那个词表示的是最后一步运算，所以我们题干中说的是之和两倍之和，所以它的两倍的话在前面。丙与甲的两倍，甲的两倍是独立成一个词的。丙与甲的两倍就丙，丙加上二甲之和。

好，没有问题了吧？好，这两个条件是不一样的啊，注意两个条件，后面的算式明显就是不一样的，一个是是把丙算了两遍，一个是把丙算一遍，所以它的结果完全不同。好，那接下来我们来看一下代入排除，给大家梳理一下。代入排除。在考试过程中。其实运用起来并没有太多的技巧性，毕竟就是一个代选项，对吧？说白了就是代入选项，看它对不对？但是我们主要的难点就在于什么时候想到代入排除。很多同学不是不会做，而是在自己做的时候，他想不到用代入排除，那我们就告提醒大家，考试的时候第一。四种典型题型多位数年龄无定方程和余数优先考虑代入排除。那我们刚才举例举了。多位数和余数两种情况，这里面分别是例一。和例二好年龄没有举例，是因为真题比较少，而且呢，年龄问题比较好认，一看就看到了，对吧？岁数的问题而不定方式是因为后面会讲到，所以这里没有。没有去专门为不定方程举例，后面方程法里面有好几道不定方程的题目，也是会用到代入排除的好，那第二个就看选项。选项是一组数据，这里一组数包括两种情况，一种是甲乙丙等于几？第二种就是。

甲乙丙的比例是多少？这两种都叫做一组数，它的信息都给的很充分，然后第三种呢，叫做剩二带一，就剩下两项，只带一项就可以了。剩二带一。比如说我通过某种方法发现AB答案是错的，那只剩CD两项CD两项，我随便带一项一定出答案。但CC对了，我就选CC不对，我就选4d，这样的话CD就挑一个简单的往里面代入就行了，好那具体代入的方法上。我们是优先。去排除的，我们刚才讲的过程中全都是直接带原因，是因为我们现在是刚开始学代入排除，所以呢，后面那些什么尾数啊，奇偶啊，倍数的技巧都还没有学到。所以我们讲的是直接带。直接带的话，就是看两种情况，一个叫做最值，就题目中有问你最大最小的他问。最大是多少呀？

最大等于几？这个答案最大可能等于几？那你从最大的选项带从大的选项开始带。为什么呢？因为他能问你最大等于几的话，他就有可能答案中有两个三个选项是对的，比如AB都是对的，那你就要选AB中最大的一项。所以你要从最大的开始带你才能保证你带出来是最大的满足要求的结果。好，第二个叫好算，就是优信贷这种整百。整持整容术，整百整十的优先贷。好，这是直接带入的技巧，那么这里排除的技巧呢？是在我们接下来后面的倍数特性里面还有方程法，里面会给大家讲到的倍数特性，里面主要讲的是倍数的技巧。然后在方程法里面会讲到奇偶和尾数的技巧，大家看一下，对于代入排除方法整体的思路上还没什么问题。上面的范围指的就是哪几种情况，用代入排除下面就是说一般情况是直接代入，但是如果能排除优先排。好，那接下来我们来看一下。第二个部分倍数特性也是今天的一个重头戏，那倍数特性。

其实说白了就一句话，它就是用来研究。答案是几的倍数括号是几的倍数的？就这一整节，他就讲这一句话，就是研究这个答案应该是几的倍数，比如说三的倍数，所以答案里面什么四啊六啊四啊七啊，这种答案就排除掉了。比如答案是九的倍数，那什么15啊17啊，这种答案就排除了，他就研究答案是几的倍数。那我们怎么去研究呢？我们主要通过三个角度，第一个是最基础的知识，就什么叫倍数，倍数有哪些快速的判断方法。他在体检学里面给大家讲到了，当然我们在一会用的时候呢，还会给大家去点的说一下，就不会完全的重新开始讲，因为体检学里面讲这个基础知识大概要讲一二十分钟。这里就不重复的讲20分钟了，好那么主要题型是下面两种余数型和比例型，最重要的是比例型。比例性更重要一点，出的题更多一点。好，那我们先看一下余数型。

余数型为什么还能研究答案是几的倍数呢？因为出理老师在出余数的时候，他经常是这么出的，他会说我分东西。分完之后，我们先看这个例子啊，先不看上面这句话，看上面这句话有点抽象。分给一些人，平均每人分几个，最后还会剩几个或者缺几个，是不是会有这种情况呀？有的时候剩多少，有的时候缺多少嘛？那最后又问总量是几？

那当然只根据这一个条件，肯定是算不出来的，对吧？我不知道人数，我怎么可能算是苹果呢？但是我根据这一个结合选项，我就已经够选出来了，因为大家想想，如果我分东西每人分十个，还剩余三个的话。那我是不是只要把剩余的三个给它退掉？我退回去给老板，我说老板这三个苹果不要了。那么我现在分出去的苹果个数不就正好是每人分十个的整数倍吗？退掉十个以后。

它不就是十的倍数吗？对吧，苹果的个数就是十的倍数了。大家看一下有没有问题，苹果的总个数退掉多出来三个，以后我就是十的整数倍，那我就看答案里面谁退掉三退三就是减三嘛。是不是只有c选项？只有摄血压退三以后是十的倍数。比如说我不需要去设未知数列方程，再去算这个答案，我可以就看这一小句话，十来个字我就能根据多退少补的道理就把答案做出来了。有很多这种分东西的题，它都有这样一个技巧，就只要说我分完之后多几个，那你把多的退掉，它就能被每人分的个数整除。如果你缺几个呢？同学们。大家想想，如果付完之后缺三个呢？缺三个，我怎么想？多退少补嘛。既然你多就退，那少就补上呗，我就再补三个补买三个。以后它不就正好能被每人分十个整除了吗？那么它分出去的个数不就是十个的整数倍吗？

对吧，我再补三个，以后它就正好每人分十个了，十的整数倍了，那我就给它加三。加深以后很明显答案加深，哪个答案是对的？是不只有a选项，对吧？好，当然，这里举的例子是非常非常简单的例子啊，我们不可能指望说考试一定会这么简单，但是我们主要是用它讲例子呃，讲那个道理就补例是用来讲道理的啊。

后面的题目还是用的这个道理，但是题目就不会那么简单了，好那大家看一下。我们这个多退少补，其他的意思就是分东西以后有余数的，你就把它退掉，它就能整除了分东西以后有缺多少不够分的，有缺少的。你就补上缺的缺口，对吧？你就补上这个缺口，它就能够整除了，那么它就可以不需要序列方程就能找到这个等量关系，找到这个整除的道理。这样的话就可以省下你很多的计算时间。

好，大家先看一下这一部分有没有问题？那我们再看一下左上角写的是个什么东西呢？如果总数等于ax加减b，那总数减加b能被a整除，这是个什么鬼呢？这个东西啊，它的意思是我们有的题目中它会出现这种情况，就列出来，比如说y=vx+1个b。那这时候我们很多时候就觉得老师啊，这是个不定方程，你看xy两个未知数AB呢，都是注意AB，都是整数啊AB，都不是未知数了AB，都是自然数，就是正常的常数。自然数了好，那很多人就会觉得这个不定方程，它要解方程，但实际上你还可以有一个另外的理解方法，你可以理解为。你把这个b移到左边。那不那不就变成了y-b了吗？它就等于vx。那y-b是ax，ax不就是a的倍数吗？大家想是这个道理吧。所以y-b以后，它就是a的倍数，所以在考试过程中，我们看到一个总数，它能够写成一个ax+b的形式，那我就把它这个b减掉，以后它就能被a整除了。那么，这就是它的一个多退少补的原理。为什么是多轮传播原理呢？大家看老师清一下屏，给你们分析一下。比如说下面两个东西，我们刚刚说的时候是用那个文字去说的对吧？是用我们俗语去说的，那如果说我们写成公式的话，是这么写的，如果是外外。那y就等于多少呢？十乘以人数x。然后还剩余三个，那就多出来三个对吧，然后我们在推的时候你就发现把这个拖的三个移到左边，给它减掉y- 3以后，它就等于10x。那不就我们刚说的减去三退掉三。它是十的倍数吗？对吧，十的倍数嘛，所以y- 3是十的倍数。所以它就是把我们刚才这个多退少补的东西给它代数化了，给它变成了一个公式了。所以左上角这个道理就是我们讲的这个多税少补，只不过呢，它把它变成了一个比较。就是代数化的一个形式，看起来就不太好理解，比较抽象，所以老师的重点是给大家讲了个多退少补的道理，大家看一下有没有问题？所以大家会发现，思维导图上写的就可能，你看思维导图就没看，没有看得太明白它怎么用，实际上用的时候呢，一般就是用多退少补去理解的。

好，那接下来我们来看一下。第一题，一群学生分小组在户外活动，三人一组多，两个五人一组多，三个七人一组多四个。最少有多少人呢？人家问你最少，那就意味着选项中是不是有可能有多个答案是对的呀？对吧，多个满足的，人家要你选什么？选最小的就要注意这一点啊，选最小的那这里有的同学呢，可能就习惯性的一看随便带了一个，结果大家知道d。也是对的，他发现d也是对的b也是对的，那BD其实都满足，那选哪个答案？那一定要选什么？一定要选最小的，那就选b呀，对吧？也不能选4d了，所以这道题在预习的时候我看到有些同学选的4d。那请注意d，是不能选的啊，因为它是问最少。

所以d虽然满足前三个条件，但它不是四个选项中最小的答案，不是最小的满足选项的答案。啊，这也是前面强调过的，凡是带入选项去验证的题，你一定要按照它的最多最少的要求问，最少从小的选项a开始带。好，那这里面我们来看一下。这道题目，它说几人一组，还多几人，那说白了就是用总人数怎么样？是不是除以每组三个人，然后分出来若干组？最后还怎么样？还多两个人就余两个人呗，对吧？那就是我们说的除以三余二嘛，就是除以三再余二嘛。所以翻译完之后，我们会发现这种几人一组，它就是除以几余几的意思，那我们现在就可以，既然是余数问题，我们考虑代入选项。对吧，那带入选项的话，问最少从最小的开始带先带a。

好，23我们。多两人，那我要不要把那个若干组几组把它算出来呢？没有必要，因为我们有个更简单的说法，就是我把这两人退掉以后，看它是不是三的倍数不就行了吗？那我们退掉两个人。它是21，是不是三的倍数呢？三的倍数有一个快速判断方法，大家在预习课里面应该记得吧三的倍数。它是不是只看个位之和就行了，对吧？

看个位之和能不能被三整除就行了？好同样的道理，九的倍数也是这样的。九也是一样的情况，九的倍数就看个位之和是不是九的倍数就行，所以二+1是三的倍数，那它就是三的倍数。好，那看一下五人一组多三人，那就23退掉三个人以后是20，那肯定是五的倍数，因为五的倍数最简单的。只看个位是五和零就行了嘛，对吧？五的倍数就个位是五和零。

再看多四人，那就23退掉四，它是十九十九是不是七的倍数呢？19能不能整除七呢？七的整除没有什么特别快的方法。所以我们在这里直接除就行了，尤其是两位三位直接除就行，那19÷7我们发现是不能整除的，所以a选项错在了最后一个。那么，再验证第二小的答案b选项53-2，51各位之和六可以。53减三五十。五的倍数53-4。四十九四十九正好是七的倍数吧，所以三个条件全部满足答案，直接选b。它已经满足了所有要求了，所以它必然是一个正确答案，不需要再验证CD，就算CD都是满足的，也不能比b小。好，大家看一下这道题没有问题。带两项正确是比较常见的情况啊，因为正常来说，带入排除最少带一项，最多带三项，所以一到三项平均就是两项左右。像很多题目，如果说你本身列方程什么之类的正常做不会做的情况下，你带两项就出答案，其实很快的。好。那接下来我们来看一下第二题。十个相同的盒子里面分别装有一到十个球，任意两个盒子的球数都不相同。大家看一下这两句话，合在一起讲什么意思？他是前面先交代这个盒子怎么装嘛，我们读完之后要想到十个盒子一到十任意两个都不相同，那不就全都不同吗？对吧，任意两个都不一样，就全都不同。

那一到十全都不同，正好十个盒子，那不就一二三四五六七八九十各出现一次不就行了吗？对吧？十个盒子就是这样的，一到十。好，那我求的总数是不是就出来了？每个盒子是一个两个三个，一直到十个球，那么球的总数不就一加到十吗？所以第一句话的意思就是告诉你。十个盒子的总球数是一加到十。好，那再看一下，后面分三次，每次取出若干个盒子，若干就不知道有几个盒子。那么，每次取出的球数之和。是上一次的3倍，有个等量关系出来了三倍好，最后剩下一个盒子问剩下的这一个盒子有几个球呢？我们发现它第二个条件给的比较绕，一会是取出几个盒子，一会又是个球数，怎么样？一会又剩几个盒子，一会又几个球，就盒子和球来回数。

那道理，这道题我们是针对球来分析，还是针对盒子来分析？同学们。我看这里一看盒子球。盒子又球。很显然，哪个有等量关系，我就看哪个呀，你盒子有等量关系吗？若干个盒子。剩下一个盒子，这叫什么等量关系？若干是个不知道的东西，一个那剩一个就剩一个呗，我知道你剩一个，你能列什么公式吗？没有。但是求数是有倍数关系的，问的答案也是求数，所以求数才是这道题的核心点。凡是从盒子数上去找，关键点的都找不出来，这道题他就会觉得在这道题目中就迷失了方向，所以大家在做的过程中。看到题目中还有一个干扰的东西的时候，你要想明白一个就是看它问题问什么，一个就看它已知条件里面的量，那个数字是在围绕什么去说。它围绕球在说，那你就不要在那里来回的想盒子。好，那我们来看一下，既然围绕求去说，那第一句话我们就更明确了，那就求数嘛，求数和。它等于一加到十。是不是首项加尾项除以二再乘以项数啊？对吧？这等差数列的求法，不记得的同学可以再回忆一下。第一项加最后一项，除以二再乘以项数就可以了，这个除以二你会觉得左边不好除，它是因为11÷2不能整除，对吧？你可以拿这个二和这个11约就行了。好，那就是55。55个球那么分三次取，那我分三次取，我第一次。取了几个球，我不知道吧，那我就设一个未知数嘛，第一次是x个球。好，那第二次呢？我就知道了，因为它每一次都跟上次有倍数关系，每次是上一次的3倍。所以第二次就是。3x第三次呢？再三倍。它不就9x了吗？所以我只需要设一个未知数，它就能把后面两次的都找出来。没问题吧，我只要射他，第一次取了x个球，那第二次第三次就是顺藤摸瓜都出来了，然后最后剩下的球。剩下的盒子。有几个球呢？

y个求呗，为什么要设y？因为它肯定跟x没有直接的关系，它不能直接形成gx对吧？你凭什么说它gx？所以你只能再设一个未知数y。那我们这里面我发现球的总数是不是被这样分成了两部分，一部分就是我。前三次取出来的一部分就是我剩下的，那无论是取出来的还是剩下的什么东西永远不变。它是研究这个球的内部的问题，对吧？是把这55个球内部进行了一个分配的问题，所以这种情况的核心点都是要你想到什么？总和永远不变。

它等于55。所以我把它整理一下这个方程，我就下就能发现整理完之后，它是x+9 x10，然后再加三就是13x。然后再加一个y以后，它等于55，大家看一下到这里有没有问题？好，那到这里没有问题的话，我们求的是y，那这时候怎么想呢？两种思路，一种思路。如果你到这里卡顿了一下子说，哎，老师，我求助这个方程了之后，我不知道该怎么做了，那怎么想？那你就永远记住，老师在前面第一节跟大家讲的话，不定方程，凡是不会做的情况下。是不是可以考虑代入啊？对吧，这是个不定方程呀xy两个未知数，它只有一个方程啊，所以它是不定方程啊。好，可以代入，那代入我就不细细的展开说了，因为那个代起来都很简单，就代y进去嘛，然后看一下x能不能得到整数嘛，因为求的个数一定是整数。好，那思路二呢？思路二有同学会感觉跟思路一差不多，但其实不一样啊，思路二的思维是这样的。13 x+y=55，那也就说我如果把y移到左边给它减掉，因为55是剩下的几个球而已，那就是55。

......

明白了吗？他也会解出这个答案d来，他是一定能选对的，你不用担心，就算解出负数，也不用紧要紧，它只是未知数，其中有一个负数，它加在一起，永远都是155。不信这个同学，你再试着算一下。那也是一定能做对的啊。那接下来我们思维导图，我们来整理一下。

这个看到有同学问那个问题啊，我就会整体说会回答到你这个问题，不定方程组，我们把它分为两种未知数，像人数这种。不可拆分的。那么我们就用菜园嗯，那个校园的方法去做，那这个为什么不能复零呢？大家想想，因为人数不可拆分，那未知数它就是。整数未知数是整数的情况下，它的解是有限的。它是有限解，它不是无限解，有限，甚至可能是唯一的解，有可能是唯一解。那这种情况下，我还能随便付吗？我就不能付零了呀，我付零的前提它是无限久，我随便怎么折腾我都能折腾出答案才能付零啊。现在明白了吗？人数不可拆分，所以它的解是有限的，它的是唯甚至有可能是唯一的，人家只有两组解或者一组解，你在那瞎复你，你怎么能复得到那有限的解里面呢？那不就出彩票了吗？而我下面这种是未知数，它是钱数，是时间这种。它是可拆分的。就各种东西，你要你只要看他单位是可以拆分的，他可以半个半个写就，只要说半个钱数半块钱，对吧？零点五元零点五小时他可拆分。但你不能说你点五个人。那么，它是无限解它的不定方程组，是无限解，无限解。答案是唯一的，我就可以复你。啊，大家简单理解就可以这样看。那么，如果是有限解答题，我们不能复零，那我们就怎么办呢？就消元嘛，消元之后我们就得到了不定方程，那不定方程的思维就是系数一奇一偶看。奇偶特性有公因子的时候看倍数特性，尾数出现零或者五的时候看尾数特性，这个五考的很少，所以我们现在。思维导图已经去掉五这种情况了，但是呢，这里老师给他讲的时候还给他带上，就是万万一他出现五的话，我怕他到时做不出来，就零或五的时候用尾数特性。那么，优先考虑中间这种。因为倍数这些是最快的，而且这个公因子一定要找最大的。好，那么最上面的普通方程是在录播课里面讲过的，就那个课前学里面，然后这个主要是设未知数的技巧，这个课前学讲的非常清楚了，这里我就不赘述了。好，那我们直播课主要讲的下面两种情况。那我们今天晚上的直播课就到这里结束了，我们休息到21点40分开始进行，我们今天的答疑。

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2021.07.01 理论精讲-数量1 唐宋.mp4

2021.07.02 理论精讲-数量2 唐宋.mp4

2021.07.03 理论精讲-数量3 唐宋.mp4

2021.07.05 理论精讲-数量4 唐宋.mp4

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