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好了，我们这就开始上课啦，请各位拿出你的笔记本讲义，还有草稿纸我们正式开始这个期中短期班的内容，这节课呢，我们主要讲两个板块儿的题型一个叫椭圆，一个双。曲线，咱们这个课虽然说只有一个半小时，但是却能讲两个板块儿，因为椭圆和双曲线这两个板块儿呢，本身它的考法是一样的。

椭圆的题目和双曲线的题目，它是一样的，所以这节课呢，会有一个很明显的特点就是你一会儿是在做椭圆的题，一会儿是在做双曲线的题，但是呢，你又能感受到这两个问题是一样的。好吧，这是这节课的，这个主要的一个一个内容啊好，那我们就废话不多说，直接开始首先呢，请各位看到咱们在讲义上面的第一道题目。

这个是2021年全国一卷的一道高考真题第五题全国一卷的第五题，首先呢，我们用这个题目做一个简单的这个开场，然后呢，我们正式来讲这个题型的总结好吧？呃，这个一方面呢是讲义准备好要开始做题了，另外一方面呢，笔记本也准备好，待会儿呢，我们就要开始给大家讲，需要你记笔记的内容。好，请各位快速的解决这个问题。

就你只要学过椭圆这个知识呢知识呢是没问题的能不能做上来呢？这个事儿可能就分人了。快快快，各位最多给你两分钟的时间现在已经过去。半分钟了。好，最后十秒还请这个没有选的同学抓紧时间选一下好吗？这个互动这个事情嘛，你得参与进来呀，上课没有参与感怎么办呢？啊来我们看一看这个题目啊。

同志们，这个题目呢，正确率54%啊还是？这个比我预期当中还是要低一些的说明大家的这个基础呢，并不是特别的好啊好呃，先来听我说各位这个先来记笔记不重要，这个题目答案是什么不重要，重要是这个题目的做法。这道题你可能再也不会再见到它了，但是这个题目的做法你会反复的见到，所以我们核心来讲做法呃，在我们讲总结题型之前。

我们要给各位讲的是你见到一个解析几何小题时的本能反应。叫做点p。在曲线上。这个曲线呢？可能是点在直线上，可能是点在圆上，可能是点在椭圆上，可能是点在双曲线上，但是不管怎么样？只要见到了这个条件，它的翻译方式有两个。它的翻译方式有一两个，第一个。叫做点p。

满足。曲线的。几何性质。各位要特别注意的是，这是你在做题时应该优先想到的事情。什么意思啊？我给各位举具体的例子，比方说点在圆上。一个点在一个圆上动，我的第一反应是什么呢？就是把这个点跟圆心连起来，因为圆的几何性质就是圆上的，点到圆心的距离。始终等于半径。如果说你遇到的是一个椭圆呢。

那马上把这个点和两个焦点连起来，因为椭圆的定义就是到两焦点的距离之和为定值。这个叫做点在曲线上第一种翻译方式是点p满足曲线的几何性质，这也是你在做题的时候应该优先考虑的，如果说这个想法没办法做出来这道题，那你再考虑第二种想法。叫做点p。满足曲线方程。因为我们前面都学了嘛，直线的方程圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程对吧？如果说这个点在曲线上还有一种翻译方式，那就是这个点满足这个曲线方程。

满足这个圆的方程，满足这个椭圆的方程。优先考虑上面这个，然后再是下面这个，这就是你在做这个题的时候最应最应该做的这个事情。m在c上在这个椭圆c上那么自然而然就会有MF1。加上一个MF2是定值2a。在这个题目当中a显然是三，所以说这个数呢，应该是六已知两个数之和为六，要求这两个数的积的最大值，这是什么？这是均值同志们均值不等式现在这个在我眼里叫做暗好吧。

这个叫做n就不用AB了因为AB在椭圆里面有它自己本身的含义。这个叫m，这个叫n，现在就是已知m+n=6要求m×n的最大值，直接用均值，那就是六=m+nm+n用均值大于等于二倍的根号下mn。高医学的知识现在应该还记得吧，非常简单所以说通过这个式子，我们可以直接得到叫做m×n小于等于。九这个二除过去嘛，对吧？三平方一下小于等于九。

所以这个题最大值就是九什么时候取到这个等号呢？均值告诉我们取等条件是m=n时。m和n都是三也就是说在椭圆的这个位置或者这个位置这个时候呢，你的MF1和MF2相等好吧。这是关于这个问题，这是我要讲的第一个点就是我们在见到一个点在曲线上时的一个本能反应好，我们接着往下啊。首先呢，这个我们接下来这个题目的难度就会比上面这个更高一些了，上面只是开个场好吧呃，接下来我们要讲的这个题题型呢。

第一个题型我称之为是隐藏的焦点。这种题目的特征呢，是它在题目当中只会提到pf1。整道题目当中只出现了pfe。就是它没把pf2连起来，它只连了pf1只连了这个椭圆上一个点和其中一个交点的连线，它只连了这个。好，各位做这种题的时候，最基本的原则，或者说首要你要干的事情。就是连接。pf2添一条辅助线连接pf2。然后呢，有了pf1和pf2之后。

我们会有什么呢？叫做pf1。加pf2是定值。ra当然这个事儿是椭圆这是椭圆，如果说是双曲线的话，那就应该是pf1。减pf2的绝对值是顶值。ra这是双曲线，无论是椭圆也好，还是双曲线也好，我们做题的思路呢，其实是一样的。

我们先来说椭圆还是一样，我们先来讲椭圆。椭圆适应了这个解题的这个逻辑之后呢，我们再来试双曲线好吧，请各位看到咱们这个第二道题讲义上面的第二道题，这个呢是四川一三年的高考题的一个改编。四川一三年的高考题的一个改变，真的没改什么这个差不多，基本上是一样的。好，他问你说椭圆上有那么七个点。

这七个点都跟其中一个交点做了连线，问你这个和是多少？我们快速的填一填好吧？这个题的数呢？还是比较好填的很整。很好填。好，目前我看一半的同学都填完了我就不等了，三二一。结束啊。看一下这个填对的人，这填了的同学填对的人还蛮多的啊。

但是有少部分同学填了7a填7a是不对的因为在这个题目当中a是已知的好吧。答案应该是35，这个是的逻辑非常简单，我相信也有一部分同学已经做过了这样的，这个问题怎么办呢？把pf2给它连起来。这时候我们就叫pf1撇吧，这样更顺眼一点，那么pf和pf1撇的和是不是一个定值？这就是2a对吧？我们把所有的都连起来。那么。

这七个点，我们就连出来七组2a对吧？总共就是七七个2a。总共应该是七个2a，而很明显这七段啊p1到p7fp1f到p7f的和和p1f1撇儿到p7f1撇儿的和是不是应该是一样的？对吧，所以说呢，就在这个基础上再除个二对吧，就是这边这七个的和那么当然它对应的就应该是七倍的a，而a呢等于五，所以说这就是35。结束这就叫隐藏的焦点，只有pf1的时候怎么办？连pf2就这么简单的原则啊。

然后利用这个原则，当然有些题目更复杂一点，这个呢，也是一道四川的这个高考题四川高考题的这个倒数第二道填空。各位来动笔写一写。问你在这个情况下，对应的面积是多少？还是一样这个我们仍然是填一填。你如果觉得题目很难的话，你会觉得节奏会有一点快啊但是没有关系，这个是在线课，回头你还是可以通过回放的啊。

把一些你没消化好的地方，再这个通过回放消化一下。这个会比上面一个复杂一点，就不是直接一连就能做完的。好时间关系我就不多等了，有同学可能是彻底已经卡死了三二一。结束了，来我们把这个问题当中最关键的这个节点，把它做了好吧，就是把另外一个焦点点出来f1撇，给它点出来，然后给它连上。然后我们有什么呢？

就会有这个，我为了简单一点写我把这个记为m1，这个记为n1，这个记为m2。这个记为n2好吧，那么我就会有m1+n一是定值2a在这个题目当中a=2所以2a就是四。m2+n二呢，也等于四对吧？这是我在这个题目当中能够得到的条件，而这道题让我求的是什么呢？让我求的是m1。加m2周长嘛，对吧？

这个三角形周长m1+m二，再加上这个AB。好了，现在这里面呢，总共出现了这么几个字母m1n1m2n2对吧？你要找到的就是这几者之间的这个关系嗯，其实有一个比较简单的这个求关系的这个方法呢，就是消元。你看现在有这个m1m2对吧？m1m2是不是可以用a1n2来表示？那么我就写成八倍的。减n1，减n二四，减m1等于呃，这个四。

减n1=m一嘛，四，减m2等于这个n2呃m2，对吧？四，减n2=m二。所以说我都给它带进去，那我就得到是这么个式子，那么现在呢？你要求的范围就变成了这一个部分的范围。就变成了这个部分了，这是大家在未来做题的时候可以用的一个最基本的原则，就是当你在做题的时候发现m1没用的时候，把它转化成n1，反正m1和n1之间有一个这个关系嘛。

对不对？校园给它转化。转化之后，这个题目思路其实就应该要出来了，你看之前我要求这个东西周长，我不会，现在我要求的是这个减这个和这个的最。最大值。就是这个线段长减去这个减去这个的最大值，这是什么？这是两边之和。两边之和小于第三边了。我再给你写的明确一点啊八。加上一个AB。

减去一个n1+n二。a1+n二是不是这两个边这两边之和是不是小于第三边，所以这个部分这个部分是小于AB？对吧呃，两边之和大于说错了，两边之和大于第三边，所以这两边之和是不是大于AB？对不对？这个大于这个，所以这整个部分是不是应该要小于等于零？这个部分小于等于零，那么这整个这个式子是不是就小于等于八？等号在什么时候取到呢？就是在这个等于零就是这个这个加这个等于这个时候。

那当然是这个直线AB正好过f1撇的时候了。这个时候你的n1+n二正好就是AB长嘛，对不对？所以说这个部分呢，小于等于零，那么整个就小于等于八，这就是它取得最大值。取得的最大值，那这个最大值时的面积是多少呢？这就需要各位呢？学会一点点这种计算的基本能力有一个点呢，大家是这个可以首先通过这个题，具体怎么算算出来呢？

呃，首先取得最大值的时候，刚才已经讲了这个AB呢，正好是过f1撇，那你要算的就是这个三角形的面积，这个三角形呢，我肯定是以这个作为高，对吧？以这个作为底，所以要算的是AB长。AB长怎么算呢？这个点在椭圆上，而这个点的横坐标是已知的，它的横坐标跟f1撇的横坐标一样，也是那个c。

这个点的横坐标是一纵坐标是多少呢？代进去。纵坐标是多少代进去x等于一的时候y等于多少四分之一，加上一个三分之y方等于一口算一下四分之一挪过去四分之三三，再乘过去四分之九。得到y方等于四分之九，所以y呢，应该是等于二分之三对吧，所以上面这个点是一到二分之三。下面这个点呢，是一逗负二分之三，这样的话我就得到这一段长度，应该是三对吧？这段长度是三你的这个焦距呢是二。三乘二再乘二分之一是这个三角形的面积。

所以三角形的面积就是三。好吧，然后呢？我刚才说的这个结论有个结论呢，希望各位要记住，就是这个AB的长度在任何的这个椭圆当中啊如果你过焦点做一个这种焦距的垂线。那么做完之后，这一段长这个弦的长度都是等于a分之二b方。都等于a分之二b方，也就说上面这个点是c逗a分之b方，下面这个点呢是负c逗a分之b方，这个结论还是比较有用的建议各位记住a分之b方这个数啊。

然后呢？你具体算的就是把c带到那个椭圆方程里面去，就能算出来好吧，这个我就不多花时间来讲了，我们继续仍然是这个隐藏的焦点，各位再适应一下第四题。选择呢，这个应该做的就比较快了吧？而且这道题呢，跟上一道题比起来就没有任何的计算量了。肯定选。好了，在这个题目当中有一个关键节点啊。

是有的同学刷题刷的比较少，可能没有注意到的，现在你就要记住了，在解析几何当中，尤其是椭圆跟双曲线当中出现了终点，你的本能反应就是要找中位线。其实高中呢，一共是两个方向，一个呢是找等腰出现终点，要么就是找等腰，等腰的话呢，这样的话就是一个这个三线合一，另外一个就是中位线，一般来讲在解析几何当中啊。

这个中点的第一反应是找中位线。你看这里有一个终点，这里是不是也有一个终点对吧？然后of呃，这个我标错了。这应该叫m把这个重点标做mo点也是终点m点也是终点，那么om是不是就是中位线这个中位线是谁的中位线呢？是三角形pf1f2中位线就是告诉我。这个和这个平行这个和这个平行，所以这道题目它通过这个条件想告诉你什么呢？想告诉你pf2。垂直于f1f2，然后这个也是一个隐藏的焦点，为什么我这么讲？

因为在这个问题当中，很重要的一件事就是你要连这个辅助线，你一看诶点p在椭圆上，马上就应该是。pf1pf2连在一起，然后再是说噢，这是中点，这是中点，所以这是中位线，因为是中位线，所以平行那这个垂的话，这个就垂。OK吧，这应该是你的一个本能反应应该是你的一个本能反应。

然后接下来他问我pf一是pf二的几倍，那我就算一算呗，刚才不是讲了吗？这个长度刚才刚才就出现过了呀，过焦点做一个垂线，这是c逗a分之b方。它的长度是a分之b方，这个椭圆方程整理成标准的应该是十二分之x方，加上一个三分之y方等于一，它的a应该等于二倍根号三，它的b应该等于根号三。所以a分之b方也就是这个pf二的长度应该是二倍根号，三分之三a是二倍根号，三b方是三嘛？对吧。

也就是二分之根号三好了，然后这一段长度pf1是多少呢？刚才说了点p在椭圆上，应该是两个之和m，这个是m，这个是n的话。m+n应该等于2a，2a的话应该是四倍根号三，现在已知n呢是二分之根号三，问你这个是多少？对吧，就这么个事，应该是二分之七倍根号三，所以应该是它的七倍结束。好。

继续各位这个事儿，再怎么强化都不过分第五题我们切换各种各样不同的这个场景题型，一是最重要的第一个题型是最重要，所以我们放在最前面讲。希望各位呢，能够熟练掌握这种题型的做法好吧。这样吧，这个前面的都太复杂了，互动的太复杂，这会我们互动的简单一点好吧？做完了，你就点一下是这个题答案你做完了。

算完了，你就点一下是。好差不多了三二一结束了。在这个问题当中呢，很重要的翻译就是条件应该在这儿对吧就我们遇到了各种各样不同的问题我们也是这个一方面呢，讲一个核心的主线，在这个主线上呢，可能有各种各样的支线，对吧，每一个题目碰到的难点可能都不同。但它的这个核心方向都是一致的在这个题目当中呢。

这个直线呢，就是这个直线和椭圆相切将直线和圆相切相切之后又告诉你某一个切点。这是在暗示你什么？各位直线跟椭圆直线跟圆相切，我的第一反应当然就是把圆心和这个连在一起了。相切的意思就是说噢，我跟你一连之后垂直，而且这个距离正好是半径，不就这意思吗？所以现在这个题目你其实根本没必要画那个圆，有同学吭吱吭吱画那个圆然后那个圆画的不好，还擦了重画。对吧。

你根本不用干这个事儿，你干嘛就行了呢？o点是圆心对吧？这个圆点是圆心拿圆心和pf2的中点一连。然后告诉你切点嘛，对吧？跟终点一连连完之后垂直，而且这段长度是半径b，就这个讯息。直线跟圆相切就这个信息，圆心到直线的距离等于半径垂直距离是半径完事儿。所以这个题目又出现了终点，又要找中位线，还是要连pf1。

然后这一段长度和这一段长度平行，而且是中位线的话呢，这段长度是b，那这段长度就应该是2b。对吧pf2长度是多少呢？是2a-2b，因为它俩之和是2a然后在这里面这个直角的条件怎么用呢？很显然这几个长度一标就应该是勾股。这是2b，这是2a-2b，这是2c，根据勾股定理2c的平方=2b的平方。加上一个2a-2b的平方。很明显。

二可以约掉对吧？就是c方，我把右边再给它展开啊a方减2AB+2b方。各位，你能写到这个式子就可以了你写到这个式子离心率没求出来，没关系的这说明有一个知识点，你没接触过，现在接触了就知道。遇到这种问题的时候怎么办？记住消元在这个式子当中，既有a又有b，又有c，就叫消元消谁呢？

消最好消的那个。消最好消的那个消a还是消b还是消c消最好消的那个最好消的那个是不是CC方等于什么等于a方减b方，进而在这个式子当中你会发现呢这个？这个里面就只有a跟b了，对吧？首先我们把a方a方约掉，然后呢？这个负b方挪过去，我得到就是二AB等于三倍的b方，进而我得到a分之b等于三分之二。没怎么见过这个操作的同学啊。记下来一定要记下来，自己走一遍，自己走一遍这个流程。求出a分之b之后。

a分之c就出来了，因为你的椭圆啊是a方等于b方加c方。就是a跟b之间的关系，知道a跟c之间的关系就知道了，各位你能明白我意思吗？唉，就是你现在就不妨说AA和b对吧？一个是三，一个是二，那你说这个是多少？三比这个a和b是三比二，你说这个是多少？这当然是应该是根号五了，因为这个的平方加这个平方是这个平方嘛，所以a分之c就是三分之根号五。

就结束了，写过程怎么写的？写过程是这样的，两边同除a方得到一等于a分之b方加a分之c方，然后因为这个是三分之二，所以它的平方是九分之四。那这个的平方就是九分之五里面，当然就应该是三分之根号五。okay吧，各位，把这个流程走一遍。把这个流程走一遍，尤其是刚才这一步没算出来，同学写到这一步，但是没算出来。

同学两件最重要的事儿，第一件事儿消元。消掉那个最好消的圆，第二件事儿已知其中两者的关系ABC，已知两者的关系能求另外两者的关系，就像刚才这样已知这个是三，这个是二，那这个就是根号五。就结了好吧，这是这个问题的感觉，没记完的同学接着记然后记完的同学再看到第六题讲义上面的第六题，我们现在切换到双曲线。

现在我们切换到双曲线。没记完的同学，我再给你30秒钟时间记一下，记完的同学做第六题，现在我们切换到双曲线，在双曲线当中，我们来看隐藏的焦点以及点在双曲线上的翻译模式。刚才呢，是这个点在椭圆上的翻译方式现在是点在双曲线。点在双曲线上的翻译方式。虽然说是两个不同的曲线，但是呢，是一模一样的处理逻辑。好。

我们切换到双曲线来继续进行一下这个思维我们见到了有这样一个双曲线，这个双曲线当中呢？它给你标出了f1，还给你标出了f2。然后呢？他做的这个事情是把AB。连在一起。过左焦点。随便啊。a点b点。然后呢？把这两个连在一起，跟之前的题有点像。

但是又不太一样，它让你求的是这个东西的周长，那你的反应是什么呢？其实是一样的。现在这个是m1，这个是n1，各位，你马上就要看到唉点a在双曲线上什么反应？那应该是af2。就是这个n1-1个m1=2a，同样的道理n2-1个m2。等于2a就下面这个是m2，这个是n2好吧，然后让我求的周长是不是求这四段之和啊？这四段之和不就是m1+m二？

加上n1+n二嘛，不就是这四段吗？现在你已经知道了噢，这两个之和是AB对吧是？是m这两个之和是什么呢？转化呀，这个n1不是2a+m一吗？n2不是2a+m二吗？对吧？这是m1不好意思。转化之我之前教你那个原则对吧？转化一下，转化完了之后，这又是一个m1+m二。

是不是又是个m对吧？又是个m，所以说就是2m。2a+2a，那就是4a，所以这个问题正确答案应该选c战斗结束。有什么区别呢？没有区别，就是点在双曲线上，我怎么翻译就这么个事儿好吧，所以点椭圆的题跟双曲线的题本质是没有什么太大的，这个区别的，我们在这儿呢，先适应这个点好吧？然后七呢。

留给这个成绩比较好的同学数学成绩不是特别优秀的同学，这个七你就不要去做了容易走火入魔，然后呢，这个七做完之后呢，正确答案应该是a选项啊。这个上课时间有限，这种比较难的题目呢，我们就先跳过好吧，基于今天听课的同学呢，这个感觉上压力好像有点大做题有点慢。我们看到第八题。那我们接下来看到第八题啊。

现在换一种这个。题型我们把这个题目的形式不太一样，就是线段和的最值，但是呢，唉，这个处理的逻辑跟之前一样，仍然是隐藏的焦点的处理方式。我们继续继续来做尝试仍然是椭圆的问题。好了，最后五秒还没选的同学抓紧选一下。这道题目当中呢，你会发现你一画图这个题目里面只出现了右焦点。

而没有出现左焦点，这是一个非常神奇的现象，对吧？pf+1个PA问，你这个东西的最小值看了也看不出来在哪取的最小对吧？然后这里面最重要的事情就来了。点p在椭圆上，我的第一反应是要找到这个隐藏的焦点，然后把这个事儿连起来，接下来写。pf.加上一个pf1撇。等于2a在这个题目当中a=5，所以就是十，接下来就是你在这个题目当中延续的。

我们前面的做题思路。要我求的是这个，我知道这个式子，那我就用它来消元pf，既然不好，我把它干掉呗，它不就是十减去一个pf一撇吗？所以现在这道题变成什么呢？变成pa-pf一撇的最小值。pa-pf一撇最小值来看图，各位pa-pf一撇什么时候最小？注意这个最小呢，应该是负的时候对不对吧？负数才是最小的，这个最小在什么位置？

把这个延长延到这边这个点。能够使得你的pa-pf一撇最小，因为其它的这个位置你的pf1撇pf1撇。减PA我给你这么写啊pf1撇儿减PA两边之差始终是小于第三边af1撇儿的。只有在这个位置，对吧？才能正好等于这个等于的时候，你的pa-pf一撇。你两边乘一个负一你看这个不等式，两边同乘一个负一是不是就大于等于af1撇，你看，所以它有一个最小值嘛？

负的af1撇af1撇是多少呢？这个交点a方减b方显然是16对吧？所以这个交点是负四逗零。负四逗零和a的连线a点是三逗一啊它的这个连线的之间的这个距离就应该是七一这个这个算一算应该是五倍根号二。这就是af一撇的长度，负的五倍根号二，所以这样的话，你这个题目当中的最短距离就应该是这个就大于等于十减去一个五。五倍根号二，所以正确答案应该选d。就这一坨这一坨的最小值是负的五倍根号二嘛。

然后你再加上一个十，它的最小值十减去一个五倍根号二。好，各位最大值在哪个点处取得？应该选什么？测试一下，你有没有听懂？最大值应该在哪个点取得？应该选什么？在这个题目当中，最大值应该选什么？这道题如果从最小值改成最大值，其他都不变。就是小改成大，应该选什么？

然后想一想在哪个点处取得？完了，还有些同学想不到啊。想不到就完蛋了哦，说明这个。刚才压根儿就没在听课。那你应该提振一下精神站起来走两步洗把脸，不然的话，这个课听完可能就跟没听一样啊咱。二一结束了，如果说这个题目问的是最大值，应该选c还是大部分同学还是能反应过来，如果说是最大值。

应该选它，因为最大值。pa-pf一撇儿，它直接就小于等于af1撇儿嘛，就这个玩意儿它直接就小于等于af1撇儿，也是两边之差，小于第三边，对吧？什么时候取等呢？三点共线的时候，只不过这个时候这个三点共线是在这一边这个时候pa-pf一撇最大。好吧，这是这个问题。

继续看到第九题，请各位用一模一样的方式解决另外一个问题。一模一样的解题方法刚才那个不会可以理解，这个还不会，那就只能是因为第八题还没听懂。好，我们再看一下啊。嗯，一模一样的处理方式就是将MF1转换成什么呢？转换成2a在这个题目当中呢，应该就是a的话应该是。四倍根号二对吧？

2a就是八倍根号二，减去一个MF2。加上一个mp，所以其实你会发现啊MF1其实就没有用它叫你干的这个事儿呢就是。要把这个MF2给它，这个连起来。然后要求的呢，应该是这个点。m呃p。这一个点应该是p对吧？这个点是mmp和MF2的这个差值的范围。那么跟之前一样，对吧？三点共线的时候取到最大值跟最小值。

它的范围呢？应该是负的。pf2。到正的pf2。应该是这个感觉OK吧，那么pf2的长度是多少呢？p点是二逗二，然后ff2这个点呢？还是一样的稍微算一下c是？c方是16对吧？这个是四逗零四逗零和二到二一连线，这中间呢？就应该是二倍根号二，所以它的范围呢？

是负的2倍根号二到正的2倍根号二。你是要在八倍根号二的基础上，对吧？最小值是八倍根号二减二倍根号二，最大值是八倍根号二加二倍根号二，所以最大值是十倍根号二，最小值呢？应该是。六倍根号二正确答案选b结束再感受一个双曲线的第十题呢还是一样这个呃成绩不错的同学，你可以去做一做这个问题，我们看到11。我看到一个11。

就是现在从椭圆切换成双曲线你看一下这个感觉还是一样，因为咱们时间的这个关系可能双曲线的题我就不带你做太多了。就是大概做一个感受一下，因为它跟椭圆的逻辑是一模一样，现在我们从椭圆切换成双曲线，各位来求一求。用同样的逻辑你做一下这个问题，做完的同学点一下试好吧？这个问题属于比较简单的啊。一看就知道是多少。好三二一别说了，焦点很好，求对吧？

一求就知道应该是三逗三逗0f二应该是三逗零。所以右焦点呃右支上显然有一个这样的点，能够使得我的这两个之和最小，对吧？就是五。这直接能看出来，那考试的时候要给你出难怎么出呢？各位，你感受一下就是把这个加af2。改成减af1。其他都不变，这道题什么地方都不变，只是把加af2变成减af1。就这道题变成求这边的这个最值。

有同学说也是三点共线减各位减怎么还能是中间这个位置呢？你要是p你要是af1+AP那最小，你说是这个，我说的是ap-af一的最小值。这个时候就不好看了各位，这个时候这个问题怎么想呢？很简单呀，把af1改写为。af2。啊也也应该是加是吧不好意思啊。

也应该是加，不然的话不太好写，就是加的话呢，把af1改写为af2。加上一个2a就行了。切换一下呗，就是你这个双曲线上的点af1，尤其是右直上的af1，不是等于af2+2a吗？对不对？然后这边这样的话呢，这个最小值仍然是在右值上取得，对吧？应该还是五在这个五的基础上加个2a，就是加上一个二倍根号五就完事儿。

应该是五+2倍根号五改成加af1的话，而不是这个点啊。反而不应该是这个点，这个点的这个距离肯定是要比那个要大的，所以还是跟之前的这个操作方式一模一样就是。始终去找什么呢？始终去找这个嗯点在椭圆上，点在双曲线上的这种翻译方式好吧，这是关于这个问题。呃，我们稍微休息五分钟吧，各位稍微休息五分钟，然后呢。

我们这个接着来讲，第二个离心率相关的问题。五分钟之后继续好吗？好同学们，回来吧，咱们继续啊。给你一个喝水上卫生间的时间我们先看一个离心率问题然后我们再来做相应的总结好吧？嗯，看到第12题，请各位看到讲义上的第12题。好，我们快看啊呃，在这个三角形当中呢。

它说AB=BC，而且AB是交点，所以这就是2c，这也是2c120度的等腰，这个是二倍根号3c，这都是已知条件啊。然后说过AC中点的椭圆OK，那就说明这个点是不是在椭圆上点，在椭圆上就连交点，连完交点之后最明显的特征是什么呢？首先这是垂直。这个呢，是根号三倍的c，这个长度是多少呢？唉。

一比根号三比二对吧？所以说这个长度呢，应该是c。点在椭圆上，同志们连完之后最重要条件就是两边之和，也就是根号3c+c。等于根号三加一倍的c等于二a，通过它可以得到离心率a分之c等于二比上一个根号三加一。分子分母同，乘根号三减一啊出来了，所以这个题正确答案应该选择b选项。这就是绝大多数的这种离心率问题的处理方向。首先第一步，我们要将这个题目当中的几何条件转化成代数条件，什么意思？

它说有这么一个三角形，有这么一个这个过这个点，有这么个椭圆，就这种几何上的这个条件，我要把它转化成代数条件，什么叫代数条件就是变成一个跟abc相关的式子。简单来讲，代数条件就是变成一个跟ABC相关的式子，得到这个式子之后，再通过这个式子来求离心率。这就是做题方向，各位好好品一品，再接着做。看到第13题。品味一下。

刚才我说的细节。把题目当中的几何条件转化成跟ABC相关的一个式子，通过这个式子来求离心率。所有的离心率问题都是这个方向。好了，我们一起来看这个题正确率还蛮高的这个坚持下来的同学应该收获还是比较大的啊好嗯，我们把这个椭圆呢给它画出来，它说这个椭圆呢，又有这个m分MF1的中点在y轴上，但是。第二次遇到各位应该已经能够纯熟的处理了，它就是在说这个是中位线对吧？跟这个平行。

所以其实你得到的是MF2与它垂直这是这个条件的翻译方式。然后它就告诉你m呃f2MF1对吧？看上去是一个几何上的条件，60度实际上是想告诉我什么呢？把这几个标出来，这是2c因为是60度，所以这是一比根号三，那它就是2c比根号三一比根号三比二，所以这就是4c比根号三。各位，看看能不能跟上啊？这两边之比是根号三比一，所以它除以根号三就是它这两边之比是一比二三角形嘛。

60度的直角三角形嘛。所以说现在你就还是跟之前一样，由于点m在椭圆上，这个最重要的条件，那么MF一加MF二等于二a，当然有同学可能会想到前面那个a分之ba分之b方，但是这用在这儿呢，不是特别好用啊。用到这不是特别好用，直接这样这样算呢，会更快一点，那么通过这个等于二a，那我们就能算出来a分之c的值应该等于。三分之根号三。

战斗就结束了所以核心是什么？核心是通过这个题目看上去给你的几何条件得到ABC相关的式子，这个式子呢，可可以是各种各样的，像刚才这两个题共同点都是。点在椭圆上，对吧？所以说我就把它翻译成两边之和等于2a下一个题可能就不一定是了，对吧啊？所以说这个就是灵活翻译，总而言之就是再来看一个14题。这个也还是我只是说可能下一个就不是了。

这个是双曲线的问题，给各位感受一下，椭圆跟双曲线的这个。共同点这种这种一样的感觉，希望你在呃上这个课的过程当中能够感受到，就是椭圆的题跟双曲线的题，其实没有什么太大区别。注意是双曲线了，双曲线呢，就是两边之差为定值，就不是两边之和为定值。好，我们快来看啊呃。

这个第14题呢？也是画那个三角形，因为MF1。和x轴垂直，所以你画出来就应该是个直角三角形，我们有的呢是点m在双曲线。点m在双曲线上，而且肯定是在双曲线的左支上，因为右边这个比左边这个长嘛，所以它俩之差呢是二a它俩之差是二a，它又告诉你MF二f一的这个sin值是三分之一。所以说应该是一比三的，这样一个结构好吧，一比三的结构。

现在这个题目已经明确告诉你了。这个长度是2c对吧？那么这一段长这一段长这一段长一比三，这个长度呢，应该是。二倍根号二一比二倍根号二比三，所以说这个呢，就是2c比上一个二倍根号二，这个呢，就是2c比上一个二倍根号二的。然后再乘上一个三三倍的它嘛，或者说呢，各位也可以这么想。

这两个之比是一比三，然后它俩之差是2a，所以说这个应该是3a，这个应该是a也一样。啊一样，反正无论如何呢，你都能得到一个ABC相关的式子，你要认为这个是a，这个是3a，这是2c的话，你得到的方程就是a方，加上一个4c方等于9a方。就是用那个勾股，然后你用刚才那种方式一比二倍根号二比三的话，你得到就是二倍根号二分之二c三倍的。

它减去一倍的它。对吧，其实就是二倍的它嘛。4c就是这样，然后这个东西等于2a，反正无论如何你都能通过这个式子上来得到相应的这个离心率算出来，结果呢，应该是。这个根号二对吧？所以应该选a。好，继续再来尝试一个这个第15题。

嗯。好，还是一样的处理方法。右，焦点。f点出来OPf为正三角形，那你这个正三角形画的感觉就应该是在上面或者在下面对吧，但是呢，因为你图形是对称的，所以你画在上面还是画在下面，其实没有区别啊。这个点在双曲线上，你就应该直接连f1撇，果断把这个点给它连上，因为这个点在双曲线上。

所以它俩之差应该是2a，对吧？现在我们来看这个长度是c，这是正三角形，这个就是c，这个就是c，对吧？这是60度，这就是120度，然后这个长度呢？也是c120度的等腰，所以这是二，就是根号三倍的c。再说一遍这是一个正三角形。

所以三边长都是c，因为这个是c，然后呢，这个角度是60度，它的补角就是120。这个是120，这是c，这个长度也是c，这个长度也是c，那它就是一个120度的等腰，所以这是根号3c，既然这个是这个三角形当中所有这个边我都给它求出来了。那接下来还是点p在双曲线上的翻译方式，根号三倍的c减c等于二a，这样翻译就做完了啊a分之c呢。

应该是等于二比上一个根号三减一。分子分母同乘一个根号三+1，得到根号三+1，所以这个题目正确答案选择c选项对吧？好了，这是这个离心率的问题，在这里面我们稍微的来总结一下这一块儿的这个做题的这个方式。题型二。就是你见到离心率的时候，你的想法是什么？各位一定要注意离心率呢，最最多的都是从ABC相关的这个式子得来。特别是只有a跟c的式子是最好求的。

对吧？然后如果说这里面这个技巧做题的这个技巧，各位要注意。如果说既有a又有b又有c消掉b当然是最理想的情况，消掉b只剩AC是最理想的情况，但如果说你不能消掉b，你只能消掉c，变成一个只有AB的式子怎么办呢？如果说遇到的是椭圆，椭圆里面有一个a分之b的平方，加a分之c的平方等于一，这个是我们刚才用过的。双曲线里面，我们刚才没用啊。

但是它一样有一个式子叫做a分之c的平方，等于a分之b的平方加一。这两个式子证明都非常简单，两边同乘a方，你就知道为什么了啊？两边同乘a方就知道为什么，然后这个式子从哪来呢？各位一定是从题目当中的几何条件得来。这就涉及到你对题目条件的翻译方式，这也是解析几何当中重点考察的一个点，就一个条件，怎么翻译？唉，说什么连线的这个中点在y轴上啊说这个这个跟那个垂直啊。

说这个是那个的3倍啊。能不能把这样几个条件呢？给它翻译出来，用代数的式子给它写出来，这是非常重要，重要的一点好吧，然后今天的最后一个题型，那就是跟。解三角形的结合主要指的是焦点三角形。焦点三，角形焦点三，角形当中呢？最核心的我们直接把这个三角形给它标出来啊。

所谓的焦点三角形指的就是m在。m在曲线上，在椭圆上，或者在双曲线上，m在椭圆上，或者在双曲线上，然后呢，这样的一个三角形我们称之为焦点三角形。在焦点三角形当中呢，会有两个式子，一个式子呢是m+n=2a，这个是在椭圆当中的这个式子。如果说是在双曲线当中呢。

这个式子会变成m-n=2a对吧？准确来讲是m-n的绝对值还有。还是一样，这个叫m这个叫做n然后另外一个式子就很重要了，各位要重点重点来写，就是余弦定理的那个式子。更多的应用在这个不是直角的场合，这个是直角的时候就用勾股，这个不是直角的时候，这个角我们叫做西塔。我们就用余弦定理，余弦定理的式子这么写，叫做这个是2c嘛。

叫做4c方等于。m方加n方减去一个2mn。cos塞塔，各位先把这个记下去先把这个思路，这个三角形的这个思路给它记下去，记完之后呢，就是利用这两个式子来解决具体的问题，我们来感受一下。首先，我们先来感受一下这个比较简单的第16题吧，这个呢，是二零二一年全国甲卷理科的第五题，也是一道高考真题。也是一道高考真题。

讲义上的第16题。好了，我看看啊。这个问题的处理方法就是余弦定理套那个式子，这个是60度对吧？所以我们对它用余弦，你得到的就是4c方。等于m方加n方。减去一个二mn倍的cos西塔，这时候西塔是六十度cos西塔，就是二分之一减去一个m。然后呢？这个式子里面的mn是啥呢？各位注意m=3倍的n。

m+n呃，这个点在双曲线上所以就应该是n-1个m=2a。啊m-n=2a。m不是3n吗？所以就是3n-n=2a，那么n就等于am就等于3a，所以这个式子我们是可以更具体给它写出来的，叫做九倍的a方。加上一个a方，再减去一个三倍的a方，所以这个等于7a方啊。那么，四c方等于切方是不是就是a跟c之间的关系稍微算一下就能算出来？a分之c等于二分之根号？

七正确答案选a奇数。如果说有些题目它没有那么巧，能够帮助我把mn算出来呢，各位教你另外一个技巧，这个式子可以变形成m+n^2。减去一个，这个2mn。乘上一个cos塞因斯塔，我写前面吧，我还是写这儿吧，各位记在笔记上这个式子可以进一步往下写。它等于什么呢？等于m+n^2。

减去一个2mn倍的。cosine西塔加一。也可以写成m-n^2，减去一个2mn倍的。cos.解一。就是多加一个2mn，变成这个前面多加一个2mn，变成m+n^2，多减一个2mn，变成m-n^2，当然你多加了之后，后面就要减掉，多减了之后，前后面就要加加掉。

所以说最后呈现出来的形式呢，是这样。那什么时候用上面这个式子呢？简单呀，椭圆的时候用上面这个式子因为椭圆是不是有m+n是定值双曲线的时候就是下面这个式子，因为双曲线的时候m。减n是定值。OK吧好呃，讲义上面比较简单的两个，这个加角三角形的题我这给它跳掉有一个比较难的17题，我们先跳过。18题19题比较简单。

我们跳过，我们看到第20题我们直接往后看，看到第20题。嗯，21吧，没有什么时间了还剩十分钟。所以我就把这一个我想讲的重点先讲了。21题。还是一样，算完的同学点一下，是利用我前面讲的这个方法。好了，三二一结束了。

利用刚才我讲的那两个式子，各位来看一看首先第一个式子叫做m+n=2a。第二个式子呢，是余弦定理的一个式子。m方加n方减去一个二倍的m×n，在这个题目当中呢，西塔是120度。所以代进去之后cos就是负的二分之一，所以这个减二mn乘上负二分之一之后变成加mn。等于4c方，你要用这些来算出pf1×pf二的值，怎么能算出来呢？首先第一步还是一样m方加n方跟m+n什么关系，就用刚才的操作。

把它变成m+n^2，加rn是不是得减rn，减rn再加rn那就是减mn。等于4c方，这个是什么？这个是2a2a的平方呢？就是4a方啊。所以这个就是4a方减mn。等于4c方，然后mn就是我要求的东西注意mn等于什么呢？等于四倍的a方减去四倍的c方。a方减c方是啥呀？a方减c方不就是b方吗？b方这个题是不是告诉你啊？

所以这个题目正确答案应该是30。做完了就做完了。然后呢？各位要注意，当我们用这个方式呢，把它拓展开来的时候，注意往前看。我们回到刚才刚才这一页啊。现在如果说我们将这个题目当中的这个条件做这样的，这个转化转化完了之后，你会发现m+n^2还是m-n^2？它是不是都可以切换为四二四a方4a方？这是4a方，这是不是也是4a方，然后我挪一挪？

我是不是可以把m？不好意思啊。就我以上面这个式子为例我挪一挪，我是可以把mn呢用这个和a方c方表示出来的，你看这是4a方，我把4c方挪过来，这就变成4b方。就是4b方减它等于零，那么m×n现在我挪到式子的左边去，我就可以把它整理成叫做4b方。除以一个二倍的cos塞塔加一对吧？这个结论往外拓展，拓展到什么呢？

拓展到面积。s是不是等于二分之一倍的m乘n？乘上一个sin西塔，对吧？然后呢？我再往这个式子里面一套唉，套完之后。当然，这是建立在椭圆的前提下你得是个椭圆，你才会有这个式子，它就等于二分之一sin西塔乘它，乘完之后一整理会变成b方。乘上一个弹。二分之sit。

就把那个二约掉啊sin西塔比上cos西塔加一=tan二分之西塔这里我就不做证明了，各位你就把它记住就可以。如果说是双曲线的话，结论是b方乘上一个弹。二分之theta分之一，这两个是非常非常重要的结论，建议每一个同学都要记住。这两个是非常非常重要的结论，建议各位都要记住，然后这个面积呢，还有别的算法比较主流的，另外一个算法呢，就是c。乘上一个yp的绝对值。

什么意思呢？这个焦点三角形它的面积底乘高，这个是底。高呢，就是这个。在我这个图里就是m吧，那我就写ym好吧m的纵坐标的绝对值就是这一段长度就是高底乘高乘以二分之一底不是二c嘛，二c乘以二分之一呢，就那个二约掉。这就是c乘上一个ym的绝对值，这是两个比较比较主流的算法，这两个建议各位要记住。

所以考试的时候喜欢考什么呢？喜欢考已知sita求面积。啊已知纵坐标求面积，已知s求，已知s求，纵坐标OK吧？就知道这个公式呢，就能秒求，不知道这个公式呢呃，做起来自然而然就会比较吃力。OK吧好，这是关于这个焦点三角形以及焦点三角形延伸出来的一些结论，总结一下今天讲的这个这个东西核心的呢就是。这两页啊。

这两页希望各位笔记已经记好了。第一个是关于咱们这个点在曲线上点在椭圆上，点在双曲线上翻译方式，其实包括各位如果现在你学的抛物线的话，抛物线也是一样的。点在抛物线上，怎么翻译呢？那就是套这个抛物线的几何性质啊？到焦点的距离等于到准线的距离，它的逻辑其实是一模一样的，所以这是大家第一个要消化吸收的东西。当然，有少部分的问题呢，它会往这个方程上去转化，那这个时候你就应该要写这个点的坐标。

满足方程，所以先是第一个，第一个做不出来，你再考虑第二个。OK吧，这是我们做题时候的感觉，其中这个题型再往下细拆分成三种题型，第一种叫隐藏的焦点，有些题目它会故意的把另外一个给你藏起来。就好比这个问题，对吧？它图里就故意没有画pef1撇，你要自己画出来，自己画出来之后，你要知道这两个之和为2a对它去做转化。

对这个题目去做转化，这是第一个题型叫隐藏的焦点，第二个题型我们讲的就是离心率，各种各样的离心率问题，各位会做到很多很多。求离心率的题目，最最核心的是这个方向，每一个题它都不一样，每个题给的条件它都不一样，但是这个方向都是一样的，给了你一个条件，你要把它转化成一个变成ABC相关的式子。然后再通过这个ABC相关的式子来求离心率，有时候你会得到这个式子里面的既有a又有b又有c。

很恶心怎么办呢？消掉其中一个消掉其中一个去算，然后呢，先求a分之b，再求a分之c也是可以的，这是一些最后呢，是这个焦点三角形。焦点三，角形最重要的事儿就是跟余弦定理的结合，大家一定要知道焦点三，角形里面用余弦定理是非常非常正常的所以你要有这种本能反应就是噢，这个题。

考了这个尖角三角形了我要把余弦定理的式子写出来，然后再根据余弦定理的式子再搞一些幺蛾子你比方说像这个非常经典的结论就是根据这个余弦定理做的一个简单的这个拓展。好吧呃，坚持能把这个课听完的同学应该这个相应的这个题型呢，都已经比较熟了，但是因为上课的这个时间呢，比较有限所以不是每一个题都能讲到。所以各位第一个这个这个有那么一个文件，就是这一讲讲义的教师版，各位呢。

如果说有一些这个题目，我上课没有讲到，但是你自己做了，想对一对答案的。你可以去找这个当地的顾问老师就你怎么报的这个课啊？你你找谁报的这个课你就找谁好吧，找他要这个文件，这个这个讲义的教师版。就是这个讲义的答案了，说白了，他手里有，然后第二个呢。

是关于这个解析几何，整个这个板块儿的一个呃。近几年，近十年的全国卷的全国卷的解析，几何的小题的集锦就前面直线语言的那个短期班发过一次那解析几何，我是把直线语言和圆锥曲线放在一起的。所以说这个文件呢，对大家听这一节课也是有帮助的这这个文件呢，建议各位好好保存，相当于是一个试题的集锦甚至等到你高三的时候，这个文件也是非常有用的好吧。

这是这是这个有两个文件管你本地的这个顾问老师就是你找谁报的课谁联系你的，你就找谁要这个文件好吧？好吧，就是就是要一些这个资料你就让他把这个资料发给你就可以好吧好，那我们这个短期班呢，就讲到这里结束，我们下次有机会再见各位，拜拜。

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