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昨天因为我有一个面授创新啊，我发现你们有一点点印象，但有一半人忘记了。有印象吗？有印象是吧？大部分是有印象的，那我啥都不说，我们先来做一道题感受一下。哎呀呀呀，等等等，差点把我做的坡坡头给弄出来来，先来做一下引力一。先来做一下引力1 OK，先来做一下书上的引力来做一下。先来做一下引力。

然后它说m为何值时pq最长，那你们把m等于多少写出来填一填OK？就这么突然啊，你们会啊唉，我问你们铅锤法千锤法会不会你们说会啊，那我还要讲什么我就不讲了。我问了你们的好吗？啊，不过说实话，引力跟铅锤有关系，但你们会觉得这什么东西啊，跟面积也也也没什么关系。先求一下这一个好吗？你们这个会的，你们这个会的。

你们这个会的，先感受一下。你们前两三题应该都是会的，我觉得。但是最近几年，天锤它的考法在慢慢的变革，我们等会还会做到二零二零年，就是今年上半年越秀区一模的一道题。难度非常大。认真求啊。今天的特点计算量也会比较大。你们小心一点。诶，我要你们求的是m的值啊。m的值。

好的，我们来看一下。做了三分半啦。这道题是我们等坏铅锤里面很重要的一环。等会你们就知道为什么这道题叫引力了，那首先我们要求pq的长那p的坐标，也不知道q的坐标，也不知道这个你们其实暑假学完之后，我觉得应该有印象了。我们可以直接设什么呢？我们可以直接设p的坐标，因为它在这条直线上嘛，写个字母喽。你们觉得哪个字母比较好？你们写的哪个字母啊？

说实话，我们我们接下来会经常用到一个字母，因为它写起来比较方便。你们用的是m是吧？其实m写起来不方便，你看m一二三你看挺麻烦的，我们一般会用一个叫做。哦，是哦。噢，我错了，我错了，我错了。嗯，那它假设了就没办法了。

那纵坐标不要用n来表示纵坐标用m- 1来表示。但其实啊，但其实我们用t和t- 1之后用t表示方便一点，你看t方便很多，而且t好写很多OK？然后接下来那q的话，由于在一条竖线上，所以它的横坐标还是m纵坐标，就是m方加上2 m- 3。可以吧，不用算吗？你们你们有这种自信，我就非常的开心，对不对？你们特别棒。

那pq是不是就等于yp-yq注意啊？不要加绝对值，有同学说老师距离不是用绝对值吗？不是的，先垂我们这里的题，如果你能判断pq的位置关系，能确定位置关系，就不要用绝对值。因为绝对值算出来，你还要舍掉，你还要舍掉一个错误答案，能够确定位置关系的话，就不要用绝对值注意一下啊。那我们就会发现是m-1-m^2加2m-3是不是这么一回事？那就等于负m方。

然后呢？马上降密啊，养成降密的习惯，刚才有同学还没做出来，你其实就可能没有降密。对吧，减去m，然后接下来再加上二。那它要求这个式子的最值哦，同学们，这个式子典型的叫做二次三项式。这种式子的最值，我们是用什么方法去求的？是用什么方法去求的？这种式子的最值广州考过两三年。

而且我们暑假也讲过一道题，非常好，我们是用配方去求的OK？配方一定要掌握啊，所以把负号提出来，里面是m方加m，你们的水平应该真的可以口算了，应该是m加二分之一的平方。本来要减四分之一，那你要加回四分之一就加四分之九，同学们这一步操作能接受吗？要接受啦，我们暑假练了好几次这种东西啦，你们暑假最后几讲挺难的，有没有回去好好整理一下？

最后四讲难度其实很高啦。最后四讲，其中会考到的，尤其前面两讲焦点问题，你们把焦点问题最后想一下，好好整理一下OK，那接下来就是当。那么也就是说m等于负二分之一的时候pq有最大值叫做四分之九。是不是叫做四分之九，所以m等于负二分之一m嗯m等于负二分之一的时候pq有最大值四分之九，那这是我们的这一题，同学们可以吗？所以答案是负二分之一，好多人写成负一的，你是去配方有同学去因式分解的。

因式分解没用的。你是选择配方注意啊，选的是配方，不是因式分解，有同学发现老师可以十字相乘哎。所以注意一下，那么这是我们的引力，那这跟铅锤有什么关系呢？那我们就要来回忆一下什么叫铅锤了，回忆一下吧。对吧，如果还是让你们做，我觉得有点不负责任，那其实它是发生在平面直角坐标系里的。平面直角坐标系里面有一些三角形面积特别好算。

就比如说这种三角形。叫做ABC或者是这种三角形对吧？我也写成ABC同学们这种三角形的面积为什么好算？这种三角形的面积我画出来应该还还是能看明白我在干嘛的。这种三角形的面积为什么好算？就你们见到这种三角形，你们一定会算的。底边一定找谁？同学们，我画了这两个三角形，底边一定是谁？可能要打的字比较多啊，我就直接问你们了，底边一定选AB，因为我们如果发生一条横线。

或者是一条竖线，它就特别适合当底，然后高高就是点到直线距离，对吧？一个点到唉，非常好，瑞阳那个总结的特别棒。所以我们如果有平行于坐标轴的一条边，那直接就搞定了，这种题说都不用说，那铅锤专门用来解决什么呢？专门用来解决这种。它三条边，它都不跟它都不跟坐标轴平行的，那都不跟坐标轴平行怎么办呢？

唉，同学们，我们怎么做的？我们怎么做的这种题？我们这种三角形面积怎么做的？你们初一学的可能是把它补成一个矩形啊，注意我们不用这个方法，我们不用这个方法，我们不用这个方法。我们用什么方法铅锤？就是过c做一条竖线下来。其实我应该把这个点b标出来。这里交于点d，那我相当于把什么呢？我相当于把s3角形ABC这个三角形。

变成了三角形a dc，加上三角形bdc是变成了这两个三角形，注意一定是做竖线，我等会会给你们说为什么做竖线？不要去做横线，一定做竖线啊，那a dc+bdc，然后我们会发现我是不是做了两条高啊？我做了两条高对吧？那我们做了两条高之后，我做了两条垂线啊，那它就等于二分之一的一个叫做DC乘以ha。第二个叫做二分之一的DC乘以HB。那么发现二分之一都可以跟DC都可以提出来，里面就变成了ha加HB。

OK，那它就等于什么呢？就等于二分之一的DC底边这条线段能不能求出来？等会儿看题。你们马上就会发现这条线段怎么求了，再去乘以其实所谓的ha+HB。就是谁和谁之间的水平距离同学们。所谓的ha+HB，其实是不是就是AB的水平距离啊？那AB的水平距离是用什么求的？是不是应该是用b的横坐标减去a的横坐标OK？有同学说老师要不要加绝对值，我再说一遍，能确定位置关系，我们就不加绝对值。

对吧，明显b在a的右侧，那就是xb-xa。同学们可以吗？这就叫做千锤法，你们学过的。你们大部分同学应该听过的。那它的难点在哪里？你们会等会儿慢慢的学到OK它的难点在哪里？你们等会儿会慢慢的看到的。好的，那应该这个听明白了，那来做一下例，一来做一下例一。说一下例一啊。

我看看例一问的是啥，看你们能不能填一填？来做一下例1 OK，做一下例一。要不要给你们解析式啊？我昨天看他们用做这道题的时候，解析式求的很忧伤。没有，你们告诉我。例一这道题的解析式用什么来求？例一这道题的解析是用什么来求？明显中子目已经算出来了。例一这道题的解析式是不是应该是用顶两嗯两根式或者交点式或者两点式来求？我昨天有发现同学们用一般式来求的，太可怕了。

你两个焦点都知道了，直接x- 3 x- 1就可以了。然后呢，再把a零三带入。对吧，然后就直接得到什么呢？就直接得到a倍的负三去乘以什么呢？去乘以负一就等于三。然后呢a求出来等于一，所以y就等于x- 3×x- 1展开x方减4 x+3。不要哪里有顶点式，没有顶点式，这里顶点都不知道在哪里，不是顶点式啊，然后接下来第二个直线AB的解析式。

你们其实应该可以口算的，一个叫做三零，一个叫做零三，你们会口算了吗？口算出斜率。主驾驶大家点斜视口算出斜率是负一，所以是负x+3 OK。当然啊，你们大题给我老师老老实实写过程啊，大题就还是老老实实写过程OK，大题还是y=kx+b。然后把什么一个叫零三，一个叫三零带入OK，然后去做就行了，但是你们口算的方法还是要去练OK。

大题还是要做，然后接下来他说求p点的坐标哦，你们写一下p点的坐标喽。呃，我要你们写一下p的横坐标吧p点的。横坐标好了。你们填一下p点的横坐标。可以。暑假你就问过这个问题。啊，能够用能够用待定系数法就用待定系数法，能够用待定系数法就用待定系数法。你待定输入法就装装样子嘛，然后在草稿本上用典型式算就可以了，这种是万无一失的OK。

对吧，你可以挂羊头嘛。你们要学会在规则内做做完美的事情OK？还不错啊。那么，有些同学做的挺快的。今天计算量会大一点啊。诶，你们计算力不对。你们基本上。处于什么呢？处于。就应该是计算错误，我从你们的答案看出来。小心一点啊。

初三的计算量会大很多，你们经过初三这一年的训练和锻炼，计算能力应该会提升很多。而且一定要。想清楚这个计算到底怎么弄OK。不，要急。好的，我们来看一下。差不多啦，这次答对的人多了很多，但是呢。就比较可惜的是什么呢？有二分之三的。也有负二分之三。

这种是最可惜的。对吧，那肯定我的意思就是有一个是对，有一个是错喽，那我们怎么做呢？接下来我们第三题开始用铅锤法。那我们接下来辅助线应该这么说，过p做什么呢？做嗯pq平行y轴。你做的是平行y轴的线嘛，交BC于点q。而且这道题特别的好心，已经万事俱备，都帮你算好了，那么我们接下来令p的坐标是t对吧？

刚刚老师说用t啊，当然你说老师我就是喜欢用m。当然可以用a之类的，其他字母都嗯a就不要用了a出现过了，出现过的字母尽量不要用OK，然后t。然后接下来是t方减4 t+3。然后q的坐标是什么呢？t负t+3。所以我们接下来会发现OK，那我们会发现s3角形叫做abp，应该是等于s3角形AP q。加上s三角形BP q就等于二分之一的pq乘以ha诶ha没有标，那我们就把它做出来。还有HB。

它现成的直接标个直角符号就行了，再加上二分之一pq乘以HB，那我们就等于二分之一的pq。乘以ha+HB有同学问，唉，老师，我一定要写这个推导过程吗？一定要写推导过程，因为注意铅锤法，它不是一个公式，明白吗？铅锤法是我们自己总结的方法，它不是书上一个就就比如说一个定理之类的，没有千锤定理这种说法，所以每次需要推导OK。

我写一下虚推导吧。需要推导才可以，需推导OK，一定要自己去推导才行，然后再接下来我们来看一下继续啊，那就等于二分之一pq就可以算啦。pq就等于注意啊q在上面p在下面有没有很熟悉的感觉，不就是第一题吗？你看p在上面q在下面减一下就行了，所以这里面。是yq-yp，那就等于负t+3-t^2加4t-3，小心一点。再乘以ha加HB，那就等于xb减xa对吧？

就等于三减零，所以就等于二分之。单倍的。负t方。加3t。这里面想明白一件事情，这里面想明白一件事情，同学们要不要把二分之三乘进去？同学们，要不要把二分之三乘进去？要不要把二分之三乘进去？你们弹幕说的是什么东西啊？要不要把二分之三乘进去？唉，非常好。

非常好啊，大部分同学选了否？不要乘进去，但不是永远都不乘进去啊，你要看题目的要求知道吗那？那二分之三在这里，这里面就变成负的t减二分之三的平方，不然你会算错的，有的人说老师我乘进去，接下来配方，我再把二分之三提出来。你们不觉得是不是无用功，对吧？所以加上四分之九。可以吗？

这个时候你再乘出来是没问题的，变成负二分之三t减二分之三的平方，加上八分之二十七，因为你要求面积的最大值嘛哦，这道题没要你求。要求的话，你就求一下OK，那我们就会发现当t等于二分之三的时候s三角形abp。它取到面积最大值，是不是就等于八分之二十七？那这个时候要求点p的坐标，那这个时候我们会发现那。那嗯，所以p的坐标就等于二分之三就直接带进去算啊，算出来这个我就没什么好说的。

就等于负四分之三，有同学说老师有技巧吗？没什么技巧，老老实实带进去算就可以了。算出来是负四分之三okay，这是这一题。可以吗？同学们简单吗？可以吧，应该没问题啊。应该可以啊。好像不难哦，因为这是基础入门题OK，接下来我们来看一下中考真题来。第一道题。

一个特别有意义的地方叫做来做一下例二。叫做遵义。给你们写一下解析式啊。y等于这道题的解析是没什么好说的，老老实实带进去就可以了，算出来是y等于负三分之二x方。加三分之五x加二。然后e的坐标，它说还要求这个跟这个的交点，那你就联立喽，我就不让你们求了，就三一就可以了，对吧？你看老师多好。三一怎么求出来的？

是联立y等于负三分之二x方加三分之五x加二和。和y等于负三分之一x加二这两个东西啊。okay然后来做一下第二题。啊。它要你求的是面积的最大值和m点的坐标，那我要求你们把面积的最大值填一下OK？把这个四边形面积的最大值填一填好吧，最大值填一下。写成分数吧。嗯啊，分数小数都行啦，看你们方便吧？第二题解析式告诉你们啦。因为我们的重点不在求解析式，但说实话。

你们不要解析式都求错了。解析式一定要检验一下就好okay？哈哈，我再说一遍啊，这道题让你求的是四边形coe m面积的最大值。我们注意一下。就有一些小陷阱，不要对吧？不要掉进去。二零一八年遵义。也不错啊。正确率挺高的嗯。好的，我们来看看啊。四分钟看一看你做到什么程度了。

我觉得你们的水平四分钟应该要做完了。它特地问你四边形，但这个四边形只有点m在动，所以一定是分成这两个三角形的。然后oce又很好，求对不对？我们会发现s三角形oce不是秒杀吗？等于二分之一的oc乘以he嘛？就等于二分之一的c点坐标是二，所以是二去乘以e的坐标，刚刚求出来三一乘以三，所以直接会得到一个三。那你的目标就是把s3角形mce表示出来，求mce的时候，那我们会发现诶。

好像又是铅锤哦，因为它没有一条边是跟那个平行的。所以我们把铅锤画出来OK，我们把它画出来移一下就行了，然后得到一个焦点。你们可以不要像老师那样画的那么长啊，我这边只是这个设备的原因OK，那我们就会发现得到一个焦点n那我们接下来叫做做。mn平行y轴。然后教ce。与点n。那接下来s3角形MC啊，没有没有，还没有设点啊，那接下来另什么呢？

m的坐标就有点恶心t。负三分之二t，方加三分之五t，加二n的坐标ce，这条直线题目告诉我了，注意啊，在这里。白给的对不对？就等于t，然后呢？负三分之一t加二。那我们就会得到什么呢？我们就会得到，所以我们就会到s3角形cme，应该是等于s3角形mnc。

加上s三角形mne，我再给你们推导一次啊，后面我就不怎么推导了，然后就等于二分之一的mn乘以hc。把高做出来，把高做出来，把高做好，一定要把高做好，加上二分之一mn乘以he。然后就等于mn二分之一写出来，我把二分之一漏了，然后再乘以里面的是hc加h一。是吧，然后就等于二分之一的mn的话mn的话应该是用m点的坐标，因为m一定在n上面。

所以我们会发现m点的坐标不一样的，负三分之二t方加三分之五t加二减去。那应该是加上三分之一t减二对吧？当然你也可以写个中括号乘以e到c的水平，距离三减零。所以就得到了一个叫二分之三去乘以负三分之二t。方加上二t好像二减二也减没了。来再问你们一句，同学们，这个二分之三要不要乘进去？我们刚才没有乘进去啊，刚才里面配方很简单，负t方加三t这道题，要不要把二分之三乘进去？要不要存进去？

OK，非常棒，所以注意啊，我们计算绝对不是死算，知不知道绝对不是去死算，一定要因地制宜，知道吗？因势利导你要。去看一下，你看二分之三跟三分之二乘在一起，多开心，所以负t方加三t诶诶诶，好像很熟悉诶诶。诶诶诶，是不是一样的。

所以就等于负的t减二分之三的平方，加上四分之九。所以当什么呢？当t等于二分之三的时候，我们会发现三角形cme，它会取得最大值，叫做四分之九。是吧，那接下来此时所以m的坐标就把二分之三带进去，再带到这里，没有任何好方法，就老老老实实带，不过算出来还可以，算出来好像不是很难，我就直接看一下答案了。

算出来m的坐标刚好是三我诶，好神奇哦，然后这个时候s什么呢嗯四边形。coe m的最大值是不是应该就等于就等于这个叫做s3角形oce，它是不变的，加上s3角形。cme的最大值就等于三加三，加上四分之九，三加四分之九，是不是就等于四分之二十一？可以吗？同学们。愉快的时间就过去了。这是一个比较愉快的时间，然后有同学说哇。

今天内容很简单啊。那我们来看一下它的变形吧，来做一下我们的第三题。啊等等啊等等啊，我好像还没给你们解释为什么叫铅锤啊，其实有一个正常的名称啊，我们把CAD啊。我们是不是做一条竖线下来，我们把CD叫做铅垂高？然后把AB之间的水平距离称之为就是我们把ha+HB称之为水平宽。也不叫AB啦，叫做xb-xa，我们称之为水平宽。铅垂高，其实你也会发现CD怎么算呢？

一定是yc-yd。OK，所以我们是过c做一条竖线对吧？然后它的面积永远都等于二分之一的千垂高。乘以水平宽，那有同学说老师你说了半天的铅锤，铅锤是什么意思啊？唉，同学们，铅锤是什么意思啊？有同学知道吗？我给你们百度一下啊。星锤啊，是我们也不叫古代吧？其实是我们以前造房子的时候。

是我们以前造房子的时候。哎，这个图片就很好。你看以前造房子的时候。以前造房子的时候，你看。你看这个东西就很形象，就是我看我的墙，它到底是不是竖直向下的，因为我们的重力是竖直向下的嘛。对吧，我们造的不是那个什么比萨斜塔，我们造的不是那个斜塔，我们造的房子都是要正常的，所以我们利用的是重力竖直向下这个功能去检测一下这个房子到底。

造的平不平？就比如说一般，我砌完一堵墙就可能我造了一堵墙，唉，我也不知道它平不平我，我把一个铅锤掉下来，发现唉呀。有个角度唉，那说明你你的房子就出问题了，知道吗？你的房子就出问题了，可能要砸掉重造OK，所以这叫亲水法啊，稍微跟你们说一下，我记得以前跟你们提过。

好吧，然后来来来那么接下来我们来做一下第三题喽。第三题是我们的哪道题呢？是我们的这道题解析式也告诉你们，解析式先告诉你们啊叫做。y=-x^2加4 x- 3，好像有一种非常熟悉的感觉，然后。请问接下来要求adp的面积为三，请问是过谁做竖线呢？你们选一下。a的话就是a。b的话就是d。c的话就是p。来选一下。

然后做一下，并且把它做一下。数物不分家的。过谁做一条竖线呢？然后做一下。选完之后看看怎么做。OK，我们来看一下啦，选了点的同学，应该已经开始算了。那目前为止选的最多的是点d，因为的确我们刚刚是不是过中间这个点了，唉，那它到底是过中间这个点还是说有其他说法呢？我们来看看喽。

我们做一条竖线下来。对吧，做法我们其实已经清楚了，如果做下来的话，我们应该会得到一个焦点，叫做d的话就是一好了OK？那我们会发现，三角形ade加上三角形pd e对吧？那个大三角形一个等于二分之一de乘以a。一个是等于嗯ha，一个是等于二分之一的什么呢？de去乘以HP，然后就等于二分之一的de。乘以ha+HP到目前为止非常的顺利。但是。

你有没有发现底点坐标是可以表示出来的底点坐标，假设成t负t方加4 t- 3。这个e点坐标，同学们，你们能表示出来吗？噢，说错了d点坐标不是啊d点坐标是已知的d点坐标是它的顶点坐标，所以我们把原来那个东西去。变成顶点式x- 2^2+1，所以顶点坐标是二，一是知道的诶，好像比刚才更简单诶。e能表示出来吗？e要能表示出来，得把AP这条直线是不是求出来？

那AP这条直线要求出来，得先把p点表示出来。p的确是t，然后负t方加4 t- 3是不是这么一回事？唉，错就错在我，我暑假教你们怎么算斜率了？那我们有同学的确可以把AP算出来啊a点的坐标，也是知道a点坐标在这里，所以其实它就等于yp-ya。除以xp-xa，真的有同学在运算的，就等于负t方加4t，然后呢？注意啊。

负t方加4 t- 4，然后这里面是等于不是不是它纵坐标，纵坐标是二是一零，所以还是减三。然后这里是减一。可以吗？可以是可以啊。接下来呢，也能做，因为这个式子可以因式分解，你们看出来了吗？因式分解除下来之后等于负的t- 3。然后呢，你再把AB这条直线表示出来。你有没有觉得计算量大了一点？

这个方法可以，但老师不推荐。为什么呢？因为啊，你这个计算量有点大。来瑞阳看一下计算量小一点的，我们来看一下计算量小一点的，以后你们都这么做啊，以后都怎么做呢？都不要过低做。我等会会跟你们说，为什么过p座？我们其实过p座有同学说老师过p座，你做了个寂寞对不对？过批做有什么用啊？

你看过批做焦点都没有，那我们还要再做一条辅助线，我们把AD延长上去。对吧，我们并不寂寞，延长就行了嘛，那得到一点q。是吧，所以呢，我们得到一点q，我不算啦，我不算这个啦，所以为什么这条好，因为AD这条直线非常简单，同学们AD这条直线你们能口算了吗？

y=x。y等于什么，快点。快速算出来。这个应该能口算的，你们而且很多同学应该解写出来是不是x- 1 y=x- 1，你看我们接下来s3角形adp。是不是等于s3角形AP q不是加啊，是减去s3角形dp q？有没有一种还是熟悉的配方，只不过从加法变成了减法，然后呢，就等于二分之一的pq乘以ha把ha做出来。把HD也做出来，再减去二分之一的pq乘以HD就等于二分之一pq乘以ha减HD清楚吗？

ha-hd注意一下，那我们接下来要知道pq的坐标p的坐标还是t负t方加4 t- 3？q的坐标是什么呢？q的坐标就变成了什么tt- 1唉，挺好的，挺简单的，那pq都知道了AD本来就知道的底点坐标，我们刚刚求出来了，所以呢，我们就会发现。嗯，s3角形adp就等于什么呢？二分之一的注意q永远在p的上方，所以是q减p，应该是t减一减。

加上t方。减4 t+3。再去乘以ha-hd，那应该是等于其实你有没有发现ha-hd？这条长的减去这条短的，还是你看竖线做下来还是AD之间的水平距离，所以还是d的横坐标减去a的横坐标。同学们，这个能听懂吗？这个能听懂吗？你有没有发现其实表达式是一样的，我再多写一步，其实又是二分之一的pq去乘以xd减xa。所以虽然它的样子变了，它的本质其实并没有发生变化。

清楚吗？本质没有变，本质是不变的，那就等于二分之一的。t方减三t加二去乘以一，那么问题又来啦，同学们，这个二分之一要不要乘进去啊？二分之一，要不要乘进去？你接下来要配方嘛？要不要乘进去配方？要还是不要？要的话选是不要选否？我们在每个细节都关注一下你们现在面临的问题。

就是计算量稍微嗯，也其实有些同学老师不大啊。但其实大部分同学觉得计算量还是比较大的，我们不要出错，不要乘进去啊，对吧？里面系数好好的，你干嘛乘进去呢？先去配方t减二分之三的平方。然后应该是加二减四分之九，二减四分之九应该可以口算吧，二减四分之九等于减四分之。哎，等一下。为什么会算出一个负数来的？

你们老师是不是哪里算错了？我怎么会算出一个负数来的？诶，帮我检查一下，我哪里算错了？负数是不可能的呀。我哪里算错啦？噢噢噢，它不是要我们求最值啊，我傻掉了。我傻了啊，是的是的是的是的，没有审题，抱歉，没有认真审题。

给了个面积三。所以它应该等于三。然后注意二分之一不要乘到里面，而是直接把二分之一两边同乘二得到t方减三t加二等于六。这样做这道题才是最方便的哦哦，奖励一下，你们来发个红包，发个红包，真是的。你们都已经会开始合伙怼老师了是吗？还干得漂亮。注意啊，不要把二分之一乘进去，它等于三之后直接两边乘以二，一定是这么做的。

然后得到t方减三t减四等于零。一定要关注每一个细节，你这样做题才会越来越快，越来越准，知道吗？就等于零那求出来t1=4t2=-1，的确有两个答案。为什么有一个答案不行？同学们，哪个条件告诉你他不行？哪个条件告诉你有一个答案是不可以的？哪个答案告诉你有一个答案是不可以，哪一个条件告诉你唉，非常好，有个右侧右侧的话。

对称轴右侧说明这个要大于二对吧，所以我就写在上面啦。因为t是大于二的，所以t就等于四。所以答案是四啊，那么那么这个方法应该大概学了一下，我先不要急着整理这题啊，我先给你们再。过一遍，我们现在遇到的是这种三角形，注意我们一定是要过动点的，一般是过动点的OK？动点。做平行线。或者叫做竖线好了。

竖线比较好，我们一般就是过动点做竖线。OK，但其实也不叫动点，我发现啊，其实你会发现三角形里面有一条已知直线。或者有一条直线，它的解析式很好，求它所在的一条线段就特别适合当底边。同学们能听懂吗？这句话就比如说刚才刚才什么刚才AD这条线，它的解析式很好，求那么AD就是很适合当底边。对吧，就比如说我们刚刚的题。

你看我们刚刚的题c1已经白给了，那c1就是很适合当底边。这个时候，它的解析式是知道的，或者已知的，或者很好求的，因为你等会儿你会跟它相交，要求这个点的坐标啊，所以我们特别。希望对吧，我们这个时候把它当底边，然后接下来第三个点，第三个顶点。我们就过它做一条竖线，所以其实真正的原理是这么一个原理。

所以这里面过c做一条竖线。我发现我有一条关键的线段没有标出来，哎呦喂，把AB延长出来，交于点d是吧？那我们会发现应该得到的是什么呢？s3角形ABC就变成了s3角形a dc，减去s3角形。bdc就等于二分之一的CD乘以ha减去二分之一的CD乘以HB。所以就等于二分之一的CD乘以ha减HB，所谓的ha减HB，我做一条竖线下来，其实就是这一段，而且你不需要证明，你直接就说就是b到c之间的距离。

所以其实就等于什么呢？真正的就是千锤高，就是yc-yd水平宽，就是xb-xa，你看。这叫铅垂高，这叫水平宽。OK。啊，不能偷懒。所以道理其实是一样的，注意啊，几何里面从里面移到外面，其实原理一般都不会变的样子，会变而已。

不要被骗了。同学们，这个清楚了吗？你们真的清楚了吗？你们真的清楚了没？那这是我们的第二形态，然后。然后然后。它会变形吗？我们就要来建一下。武汉的题来例四。抛物线l的解嗯，如果要整理笔记，就在弹幕里跟我说啊，在右边聊天窗口跟我说啊。

为什么我要读成弹幕呢？解析式是y=-x^2加2 x+1，如果要整理的话就跟我说啊。先把解析式抄下来来，先给你们十秒钟，把解析式抄下来。y=-x^2加2 x+1，先把解析式抄下来OK？y=-x^2加2 x+1，应该抄下来了。做例四，武汉的一道题但。这道题。只是截取了武汉的前两位啊，绝对没有截取第三位。

所以它第三位比较难。而且呢，知识点跟我们今天没有关系，所以就把第三问删掉了。有同学说，老师武汉的题不过如此，对吧？武汉的题不做也罢。那是什么？以后会讲到的。我们基本上会把武汉的题再讲一遍。哎，不要急，先把这道题做出来，先把这道题做出来。

先把这道题做出来。先把例四做出来，加油。啊，不要管，就做例四就行了，不要不要理我。整理好啦。这个就是把它变成了减法。不是啊，你们看嘛，你看它说如图一，那很明显它还有个第二问第三问嘛，如图二对不对？OK。

这是我们的第。一问第二问，你们求一下k的值啊。你们求一下k的值，然后填一填，今天都是填一填啊。看懂这道题在干嘛？你们的打印就很离谱，我跟你们说。你们写的答案知道离谱在哪里吗？这么大的一个括号k小于零。然后你们都填了个正数。过分不过分。有同学说，老师这道题跟铅锤有关系吗？

就刚才学的是正常的铅锤，就这种都是正常的铅锤，但是呢。就发现题眼变得越来越多。它变化的越来越多。诶，你们这道题做的不是很好诶。来我们问你们，我问你们一个问题啊。它要求的是这个扁扁的三角形的面积对吧？然后注意啊，它是直线在动。但是呢，我要求这个三角形的面积，我肯定用铅锤喽。

那请问是过b做一条竖线还是过一条m做竖线还是过n做竖线，把这个选一下？过点b做竖线啊，还是过点m做竖线，还是过点n做竖线来选一下，我看你们能不能选对？已经有出现了，还是默认它做出现okay。不管怎么样。这道题应该过谁做竖线？okay.可以啊，比例是二比一比一一半的人选了a，非常好。有同学说。

老师，你刚刚不是过这个点p的吗？你看我看了一下位置过n啊，我再说一遍，如果你数学是去记这种位置的，那你永远都学不好，注意一下，你要从本质出发。我们会发现mn这条线，你看它解析是已经白给你了，虽然长得丑了一点，但是它已经给你了，同学们。他已经给你了，对不对？

所以我刚刚总结了一下，知识点在哪里？知识点在这里啊，我刚刚给你们总结了，已知直线。把它线那条所在的线段做底边，所以mn是底边对不对？然后呢？过b做一条垂线出来。就我们把b做垂线出来OK？唉，不对啊，我这个说法好像怪怪的，做底边好像这个说法也不大对啊，应该做什么比较好？

就是已知直线。这叫底边吗？也可以叫底边啊，就是我过第三条线跟底边得到一个交点嘛，唉，也行啦。就你们自己注意一下，所以你们自己注意一下，过B座过B座OK，那过B座交于一点，我把这个拉下来一点，我觉得这个东西不是很好。位置我说的底边不是那个当面积的底边啊，就是把它延长延长得到一个焦点叫做c。都不做我就不说啦。

都不做你们就不要管了，过b做一条竖线，那我们会发现第二题s3角形bm n。就等于s3角形bcn-s三角形。BC嗯，这是bcm，那就等于什么呢？过m做垂线。过n做垂线，那我们就会得到它是二分之一的BC乘，以hn减去二分之一的BC。乘以hm。OK，所以注意下对吧？然后我们就会得到什么呢？

我们就会得到，我们就会得到二分之一BC提出来那。那里面是不是等于hn-hm？能不能接受我说了，我再说一遍，我刚刚说的底边不是我们这个底边的意思，我刚刚说的底边是这个等这个。这原来这个三角形，我一定要过第三个点，做一条竖线下来嘛，跟原来的底边相交嘛，所以我说这个名字取得不好，这个名字能不能取？这个能不能？能不能能不能换个名字啊？

AB如果是已知直线的。那我们就已知直线可以怎么样？排除两个点。同学们知道我在说什么吗？就是我想让你们快速的找到，到底是过哪个顶点做竖线？但是呢AB这条直线我要命个名。命名好像说底边的确会误导你们，所以就不大好。所以在已知直线上的我们就可以排除掉，可以排除两个顶点是吗？把两个顶点给排除掉，然后过这个第三个顶点做竖线，这样能接受吗？就没有好的语言表达方式啊。

我突然发现我之前都是这么讲的，但我发现好像的确会误导你们，误导你们就不好了呀。啊没有没有，也不是直角边。这个这个就你们道理懂了吗？你们道理懂了吗？就如果发现两个点已经在已知直线上了，我们就把它排除掉，那么第三个点点做竖线就可以了。OK，思路就这个思路啊，那我们会发现刚才mn其实已经在一条已就已经在已知解析式的一条直线上了那。那我就过点b做一条竖线，跟mn相交对不对？

跟mn相交做第三点的竖线啊OK？我刚刚就是这么做的。然后接下来我们会发现有同学说老师那我点b点c的坐标，知道吗？点b的坐标是知道的点b，你把它表表示成顶点式的话是x- 1^2。然后呢，再加上这是减一啊，加个二，所以点b的坐标是知道的，是等于一二。点c的坐标知道吗？这道题很良心了。这道题很良心了，我们会发现他说定点。

你看他特地告诉你定点y=kx-k+4，你们呢？水平现在已经要练到什么程度呢？看到这个马上要想到他会过哪个定点，唉，非常好，一四对吧？他一定会过一四一四就是点c嘛那。那我们怎么求呢？x=1的时候，我们会发现y就等于k-k+4就等于四，所以c的坐标其实是一四。所以BC就出来了，BC就等于四减二就等于二BC已经搞定hn减hm呢，那这里面建议把m的坐标写成x一。

y一把n的坐标写成x2y2，那我们就会发现，所以s3角形。bm n就等于二分之一的二去乘以什么呢？去乘以x二减x一。所以就等于x2-x一。可以吗？就等于x2-x一。所以是这么一道题嗯，这么一回事，然后题目告诉我，它说这个面积等于一同学们。两个两个字母的差。两个横坐标的差，两个焦点横坐标的差。

你要想到什么东西？你要想到一个很伟大的定理，对吧？这个定理叫做达达定理，什么鬼？这个定理叫做伟达定理。是不是韦达定理啊？那它是哪两个东西联立的呢？一个叫做抛物线，负x方加2 x+1。y=kx-k+4完了，我回不去了，你们这个达达定理我回不去了，然后联立移过来x方。加上k- 2倍的x。

再把它移过来变成减k+3就等于0 OK。是不是变成这么一个东西？是不是变成这个东西不用加绝对值，因为n永远在m的右侧n永远在m的右侧，知道为什么吗？同学们。唉，我倒是要问一下你们同学们为什么点n1定在点m的右边n1定在m的右边是哪个条件？确定这件事情的。我们把细节想清楚啊，因为有的时候他没有这个细节就不行，唉，非常好，是这个条件题目告诉我k小于零啊。k小于零是不是下降的线？

那它过点CC是个定点过c做一条下降的线，那n1定会在m的右边。同学们，听懂了吗？n1定会在m6右边，就是因为这个k小于零这个东西。你的直线画下来是。下降的下降的话，那你这两个焦点n1定会在m的右边，对吧？但这道题其实没有它，它写了如图啊，所以n1定会在m的右边。好的呢，然后接下来继续啊。

那我们要得到两根之差，我们先得到两根之积，等于k- 2。两根之和，两根之和等，两两根之和等于k减啊，什么鬼，等一下啊，两根之和等于二减负k加二。两根之积等于负k+3。两根之差怎么得到的同学们？x2-x一，我们怎么得到的？我比较建议你们把它给怎么样一下，同学们？

把x2-x一怎么样一下？把它给平方一下，就等于x一加x二的平方减四倍的x一x二。然后就等于负k+2^2-4倍的负k+3题目告诉我这个东西等于一。所以一的平方等于这一坨，不要开根号，不要开根号，平方好开根号容易出错，你等会开根号，然后又要。你等会开根号，又要平方和b呢，还不如直接平方呢，而且开根号你还要判断正负，所以就得到这里面化简一下。

这道题化简完倒是挺好挺好看的。得到k方减八=1，所以k=9哦，所以k等于正负三哦。答案是多少？答案是多。答案是多少？答案是多少？因为k小于零，所以k就等于负三，你们刚才就很离谱，知道吗？刚才好几个人写了正数的，真是的。所以同学们这道题明白了吗？

原理还是千锤那这道题我们懂了一件事情，千锤第三个顶点怎么找？我先排除掉两个顶点，这两个顶点怎么排除？这两个顶点会在一条已知解析式的直线上，我写的更清楚一点啊。叫做已知解析式的直线。这个东西叫做已知解析式的直线OK，已知解析式的直线，那把这两个点就排除掉了，然后剩下的第三个定点。无脑做竖线，然后有同学说老师，我能不能做横线啊？能不能做横线啊？

做横线也可以用叉来做啊，不要做横线，你们知道为什么不要做横线吗？就比如说刚才例三，我过p做横线，有同学说我老好像也可以做诶。不要做竖线，有个特色，竖线是横坐标相同。然后这个横线呢？横线是什么？坐标相同。纵坐标相同。同学们p点的纵坐标p的坐标叫做t，然后呢负t方加4 t- 3。

你们觉得纵坐标相同开心吗？你们想要纵坐标相同吗？你们想要横坐标相同简单还是纵坐标相同简单？是不是纵坐标相横坐标相同简单很多？纵坐标相同太恶心了。对不对？纵坐标相同，就是我们的一切的目的都是为了让你的计算更方便，让你的计算更方便，这样你的准确率也更高，你的速度也更快。OK，辛苦了。休息十分钟。

资源目录

01.二次函数中的面积问题.mp4

02.滑轮组之三大难点突破.mp4

03.二次函数中的特殊三角形.mp4

04.比热容之新疆的葡萄为啥特别甜.mp4

05.二次函数中的特殊四角形.mp4

06.论煮水的艺术之热机.mp4

09.蜡烛燃烧的产物探究.mp4

10.中考动词时态（一）.mp4

13.气体的制备实验.mp4

14.中考被动语态.mp4

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