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好，那么这一次我们的这个这一段视频啊，讲的是这个啊，小数分数乘法的这个章节。啊，他的这个里面的这个计算呢？啊啊，这个问题都和这个分数乘法有关系啊，这个也是我们其实在我们之前的两段视频里面呢。啊，都有讲到过这个相应的计算，只是呢，在这里呢，可能会比较详细一点啊。啊。

这个基础部分会比较详细一点，来看一下啊，像第一问。他跟我们说啊，四乘五分之一是可以写成四乘五分之五减四啊。是等于四乘五分之五减四乘五分之四等于四分之一减五分之一的，这个是什么呀？这个就是我们的那个分数列差的推导。对不对？证明问证明过程嘛？他这个是什么呀？四×5是分母写成两个自然数的乘积对吧？然后呢？分子呢？这个一刚好是等于。

分母上自然数的差，那么我们就可以把它拆分拆分成这个样子，对吧？好，如果用字母表示呢？这个就是这个样子啊，就是。分数列差啊，分数列差。用字母表示呢，就是分母写成a×b啊，两个自然数的乘积啊，对吧？然后呢？这个嗯。

分子呢，就写成b-ab-a是什么前提条件？就是a小于b啊a小于b。你看这里a是四b是五是不是a小于b好，它就可以拆分，怎么拆拆成a分之一减b分之一啊就？记住啊a小于b的啊。a分之一减b分之一，也就说我的分子之前不管怎么样子，反正我拆分之后，我的分子就必须变成多少变成一。对吧，你看这里是多少？这里是一对吧？这个一不是因为它是一啊。

不是因为这个地方是一，即使它是二就是它是三。只要它能拆分，那我们最终也要拆成一啊，要明白这个啊。好，那么这个地方呢啊？五×6下面这个呢？是不是让你照着填呀？对不对？让你去找规律去填对吧？那分母写成两个自然数乘积啊分子呢，一定是写成它们差的形式对吧？差大的减小的嘛，六减五嘛。

然后呢呃，这个。下一步的步骤是什么呀？是把它。把这个两个分子给分开，对不对？那这里就剩了六，这里就剩了五，你看再下一步是又是什么约分嘛？六和六约分，那就只剩五。然后这个五和五约分只剩六五分之一减六分之一，对吧？好同样的道理，这个九乘十。

然后刚好。分子是一，因为分子一的话，刚好又等于这个十减九对吧，所以直接拆分十分之一减啊，九分之一减十分之一对吧？对吧，这个就叫做分数列差啊，表达式就是什么a乘以b分之b减a啊，只要满足这个条件。只要满足分母是两个自然数乘积，这个分子又刚好是这两个自然数的差，那我们就可以直接拆分a分之一减b分之一啊。条件是a必须小于b啊好。这是我们的分数逆差。

再来看一下下一问。第二问呢诶，是不是呀？第二问是不是就是分数逆差的这个表达式呀？你看一乘二二减一等于一。三减二等于一啊，四减三等于一对不对？好，那这样子的话就可以直接猜嘛，直接猜的话就是一减二分之一啊，第一个本来是一分之一，但是一分之一呢，直接写成一嘛，对不对？好加二分之一减三分之一。

加三分之一减四分之一啊加。四十八分之一减四十九分之一啊，加四十九分之一，减五十分之一。看一下啊，这个是不是中间的过程啊？它全抵消了，你看没有就只剩了末尾和开头一。减五十分之一好，那就是五十分之四十九。对吧好，这是我们的分数列差，那分数列差。然后呢呃，这个第三问呢诶。

第三问的话，它虽然分子全是一，但是呢，它分母上并没有写成两个数的乘积的形式，对不对？那没有是没有，但我们可以写呀，我们可以帮他写呀，对不对？你看构造一下六，那不就二三三吗？是吧，好分之一对吧？那我的12那不就三×4嘛，是吧？

你看刚好让它等于等于这个分子就好了就可以了啊。你看四×5。好五×6。六×7啊。计生办。然后呢？八×9。教程式。对吧，好，这个也是一样嘛，对不对？也是一样拆分嘛啊，然后呢？这个拆分的过程你们啊多写一下啊。

你们多写一下，然后呢？我这边我这里我就不不写了啊。我打省略号，但是呢，你们要把它补充好啊，然后呢，再加九分之一减。十分之一好，最后也是一样的，中间的过程，它被抵消掉了啊，前面剩了一个二分之一，后面一定也要剩一个啊，而且。

正数和倒数，它们是相对的哈好，那就是啊，这个是五分之二。五分之二啊。好，接下来呢，是第二大题，第二大题，第二大题呢它。稍微有有一点点不同，对不对？你看之前我们这个分子是一。之前分子是一，现在分母也是两个自然数的乘积啊。

然后呢？这个三呢？它不是之前的一了啊，它这个分子上面呢大了一点，但是呢，这个分子它是不是刚好等于八减五呀？看一下是不是刚好是八减五呀？既然是。他就可以用分数略差，对不对？所以这个地方呢，你就可以是什么？三等于八减五的嘛，对不对？既然是哎。

那我们就可以直接等于什么五分之一减八分之一？对吧啊，只要分子满足两个自然数差啊，那我们就可以了，对吧？好，你看。这个七呢？你看这个七是不是刚好是四十减三十三等于七呀？哎，满足不是不是满足，满足的话就三十三分之一减四十分之一。对吧，看没好，这是第二题啊。

然后呢？第三问啊，第二问第二问。第二问呢诶。这个分子。它在变化。它在变化，但是呢，它的变化是有规律的，你发现没有？它再怎么变？它还是分母两个自然数之间的差，你看你看二减一等于一四减二等于二。七减四等于三十，一减七等于四啊十。

六减十一等于五十六，二十二减十六等于六。对吧好。但是最后一个一定要注意了啊，这个二十二分之一呢，它并没有。啊，并没有参加，所以呢，你们呃猜的时候一定要注意把二十二分之一单独放在一个位置啊。比如说我这里，我能不能把它提在前面来可以的啊，我提到前面来，让它不要影响我二十二分之一放在前面。然后呢？

我后面呢？我就呃这个拆了啊，开始拆了，那就一减二分之一对不对？好，那就加二分之一减。四分之一是不是对吧？你看减加四分之一减七分之一加七分之一减十一分之一。对吧，加十一分之一减十六分之一加十六分之一减二十二分之一。好。哦，原来这个二十二分之一可以不用提啊，你看就是做了之后我们发现了二十二分之一，为什么可以不用提你看？

减二分之一和加二分之一抵消啊，减四分之一和加四分之一抵消减七分之一加七分之一抵消，你看最后。十六分之一和十六分之一抵消这个二十二分之一。减二十二分之一，它刚好还和前面这个抵消，对不对？抵消到最后只剩什么？只剩前面的一个一对不对？你看只剩一个一啊，除了这个一呢都没有了，都全部抵消完了，对吧？再来看一下啊。第三问呢诶。

三减一等于二对吧？五减三等于二，七减五等于二，那这个就直接可以拆了嘛，对不对？分子刚好是分母，这个自然数之间的差，那可以直接拆对吧？那就是等于一减三分之一对吧？好三分之一减五分之一。啊，五分之一减七分之一啊，减啊，加啊，七分之一减九分之一。

加九分之一减十一分之一好，你看那就一减十一分之一就等于十一分之十。对吧，你看学会了之后就速度就比较快了啊，速度就比较快了，再来啊第三题了啊。第三题呢？我们再来观察一下。首先，四减一等于三哦，它不是二啊，不等于二，你看七减四等于三是。十减七等于三一百减九十七还是等于三？也就是说。

我这个二呢，其实我是不需要的，我需要的是什么呀？是三对不对？我需要的是三，那我既然需要三，我可以直接把它换成三。可以换成三啊好，那就等于什么啊，一×4分之。三啊，就是一乘四分之三，但是呢，要考虑一个问题。它之前是二。

我现在我把它变成三。它的数变化了，那就不符合我们的计算数变化了，对不对？为了符合我们的计算，我们必须把它的三。和他以前的二联系起来，那怎么联系哎？我给它乘以一个，你看我把我我怎么做可以约分把这个三约掉，对不对？怎么做？它的这个三在分子，那我就要在后面的分数上面给它加一个分母。分母和分子约分嘛。

那就三约掉了，但是以前它还一个二二在什么位置，在分子位置哎，我给它添一个三分之二。这么一乘下来一约分哦，它又变回去了，对不对？你看又变回去了，好一样的道理，你看后面是不是四乘七分之三，对吧？也一样要乘一个三分之二。它就变回去了，对吧你看？啊。

这里啊，错了啊，七×10不是四。好七乘十分之三乘以三分之二啊，一样的啊。好加九十七乘以一百分之三乘以三分之二。那么这个地方呢？哎，直接来看一下啊呃，我把三分之二全部提取出来，因为三分之二是什么呀？是这个。公因数对吧？提取出来好括号里面就变成了一乘以四分之三，唉。

它可以直接做什么呀？拆分啊，拆分一减三呃，一减四分之一啊是四了啊。好加四分之一减七分之一。加七分之一减十分之一。加哎加省略啊，加九十七分之一减一百分之一好这个呢，三分之二也一样保持。然后后面呢，你看四分之一四分之一抵消对吧？那就前面剩一个一，后面剩一个一百分之一减一百分之一啊好，最后的结果呢是五十分之三十三。那五十分之三十三。

这是第三题啊好。来看一下第四题。第四题呢？呃，是不是也是你看一下啊？一×3。写成两个自然数乘积的形式了嗯，三乘五也是对吧？然后呢？三减一应该是二。这个五减三也应该是二七乘五，也应该是二对吧啊？但我发现它是三怎么办？是不是和刚刚一样的办法？它是三对不对？

你看。我只要二，我不要三，对吧？那我就要做什么动作？把这个二给约掉。给把三给它乘回去，对不对？它就要乘以二分之三，它就可以保证它的计算结果是不会改变的，对吧？你看。一样的动作啊，这个动作是一样的。好。

最后也是一样哈，把二分之三提取出来，因为这是一个公因数了啊，然后呢，这个嗯，也是可以直接猜了，你看一减三分之一啊。加三分之一减五分之一。加五分之一减七分之一。加九十九分之一，减是一百零一分之一，对吧？好，最后二分之三保留啊保留，然后括号里面呢。

一减一百零一分之一。好，最后结果算下来哈是一百零一分之一百五十嗯，好。这是第四题啊，大同小异和第三题，但大家一定要学会啊，它的核心是什么？核心是我的分母一定要写成这个自然数乘积形式，而且分子呢？还必须是它们之间的什么差值差值啊，如果不是差值怎么办？给它构造啊构造。好，接下来呢。

是第五题啊，第五题。第五题这个题呢？唉，看一下啊，五分之三六分之五七分之六。没什么特别的啊，前面没什么特别的，但这个后面呢，我三乘四三+4=7看到没有？四+5=9，五+6=11，六+7=13，这什么呀列和？是不是啊？

上个视频我们有讲过列和列和，就是如果分母写成自然数乘积形式。分子呢，又刚好是它们之间的和比如说分母写成aba×b啊，那么呃，分子呢，又刚好是a+b。那么就可以把它拆成a分之一加b分之一。对吧，所以你看五分之三肯定它不能拆了啊，就保留啊保留。七分之六保留那么这个啊，最后呢，三三乘四分之七是可以拆的，三分之一加四分之一。

对吧？而且后面全是加法啊，全是加，那就不用括号了啊，因为全是加，不会影响你的结果，如果有减的话，你就要呃把那个括号给填上啊。好，你看五分之一加六分之一加六分之一加七分之一，对吧？好最后呢？呃，有没有看到我这个五五五？它至少是同分母分数嘛。

对不对？把它加在一起。同分母嘛哈。好，再来看一下六的呢，唉，这个六的呢是有也有哈，我给它加一个六分之五对吧？这里有一个六分之五，然后后面呢，给它一个六分之一。多了一个六分之一呢，先不动啊，不要了，先不要啊。

因为我们刚好凑成一嘛，你再来一个六分之一给它做什么，对吧？不要了。先不要啊，这个五五已经用完了，六也用用了啊，七好，那就是七分之六加七分之一，刚好你看没有，刚好刚好都有，对吧？接下来还有什么没用，还有一个三分之一没用，对吧？

还有一个三分之一没用啊，那这些没用的，让它放在一起对吧？能不能产生什么结果，就看他们自己了，不能产生我就运算产能产生，那就产生对不对？好放在一起，然后前面你看没有这个同分母五，那就是三+1加一五，那就一。你看六分之五加六分之一一好，七分之六加七分之一一好看，这个后面的这个呢，刚好你看四分之一加四分之一二分之一对吧？

二分之一加三分之一的哎。再加一个六分之一哦，又刚好是一看到没有，这就是它产生了结果，那就随它嘛，对不对啊呃，四个一加在一起四。对吧，这是第五题啊。第五题是四，接下来呢？是第六题。好，第六题的这个题呢？看一下啊。

首先自然数你看没有自然数乘积形式啊，这个分母呢，他已经帮我们写好了。那我们看一下分子上是什么情况，分子上你看这个四四的话，只能是一+3了，对吧？八呢三+5你看。十二五+7。十六七+9，最后一个二十四十一+13啊，那就说明他们用什么呀？列和对不对？列和而且中间你看没有？有减号有减号。

那证明要做做做什么动作？加个括号对吧？加括号啊，加括号保证我们最后不会把结果因为疏忽给它算错啊好。那就是一加三分之一。减三分之一加五分之一。加五分之一加七分之一减七分之一加九分之一。加九分之一加十一分之一，好减十一分之一加十三分之一。好，最后呢，把括号给它拆了嘛，拆了啊，拆减三分之一，你看减五分之一啊。

括号是减号嘛，所以都要变号啊。各位同学，一定要去自己去猜啊，这些东西都要念啊，如果念的少了，你到后面你自己会忘啊。好，你看中间约分啊，不是啊，抵消抵消掉了啊，那就前面剩一个一啊，后面剩一个十三分之一好。最后结果是三分之十二啊，是三分之十二好第二问。

第二问。第二问的话，看一下啊，好首先。它的这个分母呢啊是62，24，20，30，它并不是写成自然数的这个形式。啊，但是呢？他虽然没有写成成绩，但我们自己做了这么多，也应该有经验了，你看一下这个六。

那不就是二×3吗？对吧？那不就二×3嘛，这个12那不就三×4嘛，对吧？你看首尾还互相互呼应，你看哎，它还呼应上了，你看四和五，你看五和六。对吧，那往后也不用说了呀，这肯定就成十嘛，对不对？好。

那这样子的话呃，我再看一下啊，这个分母是自然数乘积形式了。分子呢，你看二+3=5等于的啊，等于的你看三+4=7啊，你看九+10=19，你看联系上了对不对？联系上了，只有这个一啊，这个一它联系不上，让它给我单独的放在一边。对吧，最后呢，你看我既然可以写成二乘三分之五。

那我就可以裁对不对？括号啊，括号，因为这个是什么啊合？啊，二分之一加三分之一。好，这个加啊，三分之一加四分之一。又来一个减了，你看四分之一加五分之一。嗯，我这边我省略了啊，你们把它写全啊，写全好。

这里就九分之一加。十分之一。好，最后的一个呢？是什么动作啊？给它进行。去括号对吧？减二分之一，你看减三分之一哎，加三分之一哎，加四分之一。减四分之一。加五分之一。啊，一定要写全啊。

我这里我也多写两个啊，它这里是这个是减对吧？倒数的正减量是减。我把它写了，给你们说一下啊。八分之一减九分之一啊，加九分之一加十分之一啊，这个题看清楚。第一个。这里减三分之一。加三分之一抵消啊，加四分之一第四减四分之一抵消。但是前面剩了两个。按道理来说，我前面生两个对吧？

那我后面也得生两个。但是这是按道理来说，是不是？这个地方不是为什么呢？你看前面剩两个，后面这个减九分之一加九分之一都都抵消掉了，那中间肯定也没了。他就剩了一个十分之一。为什么？不是因为它这个一它本身它也没参加我的活动啊，对不对？它也没参加我这个拆分的活动啊。你都没参加活动，我最后我分果实的时候，我肯定不算你呀。

对吧？所以。我们其实。这个活动当中的这些部分还是前面一个，后面一个的这个一他比较特殊啊，让他一个人单独过去好，那么我们接下来啊，把这个算下来。这个最后的结果呢，是五分之三啊好。这是第几题啊？第六题啊，下一个第七题。第七题，第七题。

这个题呢啊？也讲了一些啊，也讲过这是什么？还是列项。不过这个呢，是整数列项。整数列项啊，昨天也跟。哦，上次上次的视频呢？里面也跟同学们讲了这个整数列项是什么情况？对吧？呃，首先。一定也是写成自然数乘积的形式。

而且呢，这个自然数之间差基本上是定值。你看，比如说你看15减十四一嘛，16减十五一嘛，17减十六一嘛，而且它们之间呢呃，每项之间相邻的项之间。他的首尾相连，你看这个15，你在这里能看到这个16，你在后面能看到17，那后面肯定也有，这就是首尾相连。对吧。

那么我们就可以给他进行延伸拆解拆分。怎么延伸？是不是也说过？往后延伸一个数，往前延伸一个数，求求差值啊，比如说你看我，我往后延伸怎么延伸14×15对不对？延伸呢，就是16啊，乘16对吧？为为什么要乘16？因为它十五十五的后面加一是吧？是16是加的是这个叉啊，如果叉是二的话。

如果叉是二的话，你就得加二。啊，明白哈好，然后往前延伸，往前延伸什么情况？它本来14它的差是一。它是一对不对往前，那就是往前一就是13。13层，14层，15。对吧，求差值嘛好，这就是它的一个差。

这是单独的。14-15。划分下来的哈，不要搞错了啊，这是14-15啊。这只是14-15划分出来的，但是呢？我们这样子做，结果会发生改变的，它是改变的，因为你看这里14和15是一个整体。你乘16，那就是相当于变成了16倍，然后呢？后面呃乘了乘以13。

14和15是一个整体，你乘13就是13倍。16倍减三倍呢，他还剩下三倍。那剩下三倍，我以前只有一倍啊，你现在剩三倍是什么情况？你看我以前是什么呀？是什么情况？我只有一倍啊，我现在我多了三倍，什么情况？所以你你得给它做什么动作，让它不要变不要变，我不多了三倍吗？

那我乘以三分之一，它是不是就不变了呀？是不是啊？好，这是一个啊，然后一样的啊，我这里也要三分之一来乘十五减十六a十五减十六，往后延伸一个数，对吧？往前延伸往前，那就14×15×16。对吧，你看好我继续啊，16×17那我就要16×17×18了，对吧？

乘18了，往前呢，就是15乘，16乘，17。这个写的时候一定要注意啊。不一不注意你这个数，你就写乱了，然后呢，这里最后一个啊三分之一。乘以29×30×31，对吧？往前就是28。啊，这个要省略号啊。

省略号不要搞丢了。是28×29×30嗯，好。最后，你看每个项里面都有三分之一，那就提取三分之一对不对？把三分之一提取出来，括号里面呢？你看十四乘十五乘十六哎，我有。然后我减13乘，14×15唉，然后呢？把后面的也一起给大家加上来了啊。15×16×17。

减14×15×16。好加16×17。乘18。减15×16×17好省略啊省略。加29×30×31。再减28×29×30好一样的哈，同学们。跟你们说过啊，这个三分之一你就不要动它，但是呢，这个括号里面啊，你看一下。这个14×15×16呢诶，你在这个地方能找到对吧？但是13呢。

你找不到了，这个减13已经13已经是最小的了，你看到没有？没有比13小的了，所以你13开头的这个数你肯定找不到了，它就保留下来了。对吧，它就保留下来了，那么根据我们的这个规律，我们后前面剩的是正数，第二个看到没有正数，第二个是减13。乘14×15把括号，把这个符号给带走，听见没有？

带符号搬家嘛好。那你后前面剩了正数，第二个的话，后面就是倒数第二个对不对？倒数你看倒数在这里啊，那就29。乘30×31啊，你看这个就不用我们去算太多，对不对？就不用我们算太多，只是中间虽然说我们写的过程也比较长。但是这个过程呢，都不用你想对吧，只要你会做，你想都不用想。

然后呢呃，接下来的计算啊，就自己去验证一下也可以。呃，这个算下来呢，是8080啊，8080。好，这是第七题啊，第七题呢是整数列项啊，这是列项当中的一部分啊。刚刚也讲了分数列项嘛啊，整数列项哈。好，接下来嗯。

第八题。我后我就说我说。第八题的话。你看三乘六对吧？六乘九哎首尾呼应对不对？首尾呼应那你再看一下六减三。等于三九减六啊，等于三。30-27啊，还是三那它和第七题就一样的嘛，对不对？然后呢？呃，我们这里的差就不是一了啊，是三。

所以你就。往前延伸，你得干嘛呀？你得加三。六加三就是九对不对往哦，这是往后延伸往前延伸，你就得减三减三的话，就三减三就是零零。听到没有零啊好，这里我说一个啊。如果。如果我是这样子的。比如说我这里是一。一×3啊，举个例子啊。

一乘三一×3往这个这个差是二嘛，往后延伸，那就一×3。加二啊，加二那就是五三，加二是五，你往前延伸，那就是什么呀？减然后呢？这里就要一减二，注意一减二是什么？负数是负数，可能有些同学学过了，也知道要怎么算，但有些没有。

我们如果是负数的情况下，怎么样？这一个就不要参加了。他就不要参加了，直接算他就是三不要参加了，为什么因为他有负号产生麻烦？对不对？麻烦啊，特别是对于没有学过的那那更更是懵了啊。所以一旦产生负号。产生也就是说啊，当我往前移会不够减的，这种情况如果减下来等于零也可以，就像我们这个地方一样啊，等于零你看。

等于零也可以，但如果减下来连零都不够了，比如说你这个这个呃一往前延伸要延伸二，你看一减二。你都不够减，对不对？像这种情况保留啊，保留一减一乘以三保留就好了。好嗯，一样的是是不是啊？我这里你看我乘九我这个整体啊，这还是还是橡皮擦呢？啊，我这个三×6。乘九我这个整体是三×6。

对不对？那么，它乘以九呢？它就变成了自己的9倍，然后减掉零倍，对吧？那就它的中间的这个差呢，就是九倍，但是我自己自己只有一倍，你看没有我之前我只有一倍，所以我要做什么动作乘以九分之一，听到没有？这个九分之一怎么来的啊？就是九减零来的，九减零来的啊。

好，接下来一样的哈，九分之一乘以六乘九往后延伸啊三个数，那就是乘以十二对吧？往前延伸呢，就是三层六层九。好一样的，它带你省略，你就省略对不对？好九分之一乘以。二七，30。三三啊，减二。二四啊。

乘二七。乘30好。这个就是啊，把这个公因数啊九分之一提出来，提出来你看三乘九乘六对吧？三乘九乘哦，三乘六乘九哦。好减零，这个零可以直接说嘛，因为零乘任何数都等零啊，好再加六×9×12。减三×9×6。加啊，省略它省略就跟着省略27×30×2×33好减24。乘二十七乘三十。

好注意啊，这这个地方注意啊，九分之一不动。啊，我这个三×6×9呢，在后面能看到对不对？能看到它被消掉了。那么，这个六×9×12呢？也一定能被消掉，关键是这个什么零零的话，你看没有，这已经是最小的了，对不对？零倍已经是最小的了。

那那我们找不到了，找不到了，那前面就剩的是倒数第。啊正数第二个那你后面你就要去找一个倒数第二个对不对？27。存30。乘33。减零对吧？减零那就相当于没减四的对吧？好，最后结果算下来啊，第八题的结果算下来是2970。70啊，2970啊，好。

这是第八题。接下来呢啊，第九题啊，第九题。好的啊，来看一下。这个题呢也是你看一下啊，是不是两个自然数啊？它也是两个自然数乘积啊，然后呢？这里呢呃四减一三。对吧，三标一下。七减四哎，还是三十减七还是三呃。

你看后面最后四十减三十七还是三？那这样子的话，我还可以用我的什么整数来列项拆分对不对？但是这个拆分呢？一定要注意了。我们说的是什么？如果你往前延伸，它会不够减的情况，你看到没有？这里是三，你往前延伸，你就要减三，你一减三。不够减，不够减的时候时候怎么办？

保留保留啊，一×4直接等于四啊，不要不要去管它了啊，它就等于四。然后呢？把后面的这个给它延伸出来就可以了，四×7对吧？往后延伸三那就是十。然后呢呃，我这个往前延伸三的话就是一对吧？四减三等于一嘛，一乘以四乘以七。你看一乘以四乘七，但十减一呢等于九，那就多那就是变成九倍变变成九倍。

你要做什么动作？九分之一来乘对吧？九分之一来乘啊，一定要注意啊。好呃，这个我我就不不一个一个的去给你们猜了啊，我这里呢，我直接写啊，你们你们如果后面。就是啊，熟悉了之后也可以这么直接写啊，好这个我们刚刚猜到了四×7对吧？接下来是七×10。乘以十三对吧？减掉啊。

这个七减三的话就四四乘七乘十。好，现在我们要裁这个了啊，裁这个了，那就加。34×37啊，乘以40×40减掉啊，这个31。乘以34×37。好，再往后加37×40乘四十四十三对吧？乘43。好减掉啊，30。37的话。

往前就34，34×37×40。好来看一下。四不动九分之一不动啊，然后呢这个？和这里你看都有都有四倍啊，刚好正负抵消啊，我的前面呢也是一样的，一倍是最小的，它剩一个一。乘四×7。那么我的后面呢，也一定是倒数第二个，你明白了哈，这个就37×40。

乘以43。好，那最后的结果呢？就会等于什么呀？我看一下啊，最后的第九题，这第九题的结果是首先啊，这里是四，然后呢，这个是七零六。八啊，最后整体是啊，七零七二。七零七二。好。

这是第一小问啊，第一小问，那么接下来第二小问。第二小问其实都一样，对不对？都一样，你看。四啊四都是相差四。都相差四，那就可以往后延伸，四往前延伸四但一样的啊，你往前延伸不要管它。因为这个二往前延伸四呢，你延伸不了了啊，那个呃计算方面就不要去管它。

那就二六十二对不对？把它算出来。啊，接下来延伸了啊，六×10×14。往后延伸啊，然后往前延伸就是二二×6×10。好看一下啊，十四减二多少？是不是十二？所以你这里十二分之一对吧？一定要有啊。好啊，这个也一样，我也不多写了。

你们自己自己慢慢的去拆解一下。你们是要写的啊，因为毕竟刚学没多久啊，一定要练。然后呢，这里省略。省略它是这个我们到这里啊，那就42×46。再加四的话，50了哦，乘以50啊，乘乘乘。所以你看如果写的时候不注意，那就容易写错啊，这个然后42-4-4的话是38。

38×42×46。好，最后加。46×50×54。好减。这个42。乘以46，乘以50。诶，这个零写不出来了。这个重新写一下，这个零写不出来了。好，这是减42×46×50啊好。一样的哈呃十二不不动它了。

然后十二分之一也暂时不动它了，然后呢，前面剩了一个，你看减二乘六乘十，那后面剩的是什么呃四十六倒数第二个啊，乘以五十。乘以54。好，这个结果算下来呢是？12+1000呃，一万啊，10340，然后呢，最后是10352啊好。这是第九题。

第九题的第二问啊。接下来呢，就第十题啦。好看一下这个第十题啊。这个第十题呢呃，它和我们之前。区别只在于什么呀，多了一个数，你看一×2乘三二×3乘四三×4×5，但是呢，它不管它多了几个数，它还是你看。做什么动作啊？都有首尾相连的，对不对？

都有首尾相连的，你看三四三四。那后面肯定也有，而且它的之间也是差差是相同的，你看没一一一。一一擦也是相同的，那既然相同的。是吧，这样相同，我就可以进行什么延伸，对吧？延伸延伸的话，这个嗯。差是一你往前延伸的话，一够减了啊。

一减一等于零可以的，所以这里呢都要参加啊，那就是。一×2×3×4对吧？减零×1×2×3。好来看四减零。等于四对吧四的话呢，就是乘以四分之一。是吧，好啊，因为这个呢，刚刚出现的第一种啊，三个数第一种，那我给你们写全啊。四分之一乘以二乘三乘四乘五好减去一乘二乘三乘四。

啊，再来加上四分之一乘以。三×4×5×6。减上二乘，三乘，四乘，五，好再往后的话，就是有一个。省略，然后呢？四分之一乘以八乘九乘十乘以十一啊乘以十一。减七×8×9×10，对吧好？然后呢呃。

把这个四分之一给我提出来嗯，四分之一提出来，那么这里面呢，你写也可以，不写也可以，因为我们。其实经过了这么多题，我们也知道它的规律是什么，后面剩倒数第二个对吧，后面剩倒数第二个是。八×9×10×11对吧啊，前面呢剩的是正数，第二个正数，第二个算下来刚好是零对吧，好这个结果呢？

结果算完，那就是1980。好，1980。这个呢？其实。如果会做啊，学会了，那其实很简单啊，非常简单的一个题。一样的啊，看一下。这个题呢啊？一×3×5。那么你看一下三五三五五七五七对不对？

而且你看中间都是相差几？二二。二二最后也是二。是吧，都是二。那它也构成我们的这个什么？这个列项对吧？也构成列项，那我们要注意一个问题的是什么？你看这个前面。你一减二的话，那就是。不够减了，所以这个保留啊，保留这是我们的。

一直在强调的事情啊，三五十五看到没有？三五十五保留下来好，那就后面这个啊，三×5×7乘几啊。撑起呀，往后延伸两个数对吧？撑起。然后呢呃，这个往前延伸呢，就是一层三层五。再乘七那九减一就八八的话呢，就是有八分之一对吧？有八分之一往后的话。一样的情况啊。

这个我也不写了啊，那就是五×7×9。还是写一下乘11减。三×5×7×9。省略啊，省略。17×19×21。再乘23对吧，然后减掉一个啊，17的话往前那就15了啊十。15×17×19×21。好，这个也是一样的啊，十五不动八分之一不动。然后呢？

我倒数第二个啊，17×19×21×23。好减掉一乘，三乘，五乘，七。这个算下来呢是？15加上一九四啊，然后呢？最后是19503。这个题呢呃，我再跟大家说一个事情啊，如果他往后你看他往后继续加。你就不要不要，你一定要去区分一下。

不要不要想着它往后加你，就要往后分裂，比如说我这里，我突然间我加个。啊19×21我都有对吧？我都首尾相连了，但是我这里突然间变了22。你像这样子，他是给你。给你这个设置陷阱对吧？设置陷阱，然后呢？你想也不想直接再往后为什么？19，21之间是二。

21和22之间才是一，你直接往后嘛，你往后你就错了，对不对？所以有如果出现这种情况。你这个也是要直算，直接算这个也要直接算，就是我也不参加活动，保留它啊。再接下来呢，是第几题了？十十一了哈，11了。嗯。啊。

这个11题呢？呃，它就和之前你看啊，首先。收尾你说相连吧，它有。你说不相连吧，它确实也不相连，你看这个五四对不对？所以它就不是我们的这个列项了啊，不是列项了。那不是列项的话怎么办？像这种题又不是列项啊，又没有我们又不是我们特别见过的。对吧。

那你只能去找规律了，懂了吗？只能去找规律了，你看一下啊。任何一个一般一一长串，它都有自己的规律，我们都能找到它的一个通项公式，通项公式就是说它每一项都适用。你看一下啊。第一个数一。二对吧三。四那往后去肯定五六七八九十嘛，对不对？而且你看。一个整体一第二个整体二第三个整体三。

那很明显啦，如果我是有n的话，我我有第n个的话，那我就有。就是n对吧？就是n我就有n。但是呢，它后面还乘了一个数，对吧？那它这个后面这个数我这里呢？一这里呢？三这里呢？五这里呢？七哇一三五七耶。一三五七呢。

很明显了，对不对？什么呀？奇数奇数是怎么表达的？2 n- 1。对吧，2 n- 1是奇数，因为我们说表达偶数是2n嘛，那奇数就是比它少一嘛，对不对？2 n- 1。为什么不2 n+1呢？2 n+1表不表达奇数啊？你想一下。它表达。

但是它没有一你看一下，如果我n=1的时候，二×1加一直接就是三了，它连一都表示不出来，对不对？你看就不满足这个地方，所以一定是2 n- 1啊，2 n- 1才表示奇数。也就说我这个通项公式最终是可以写成n×2 n- 1的差的。完了吗？没有啊，对不对？你这个通项公式你带进去，那最终的结果。他也就是这样子。

所以一定不是这么简单，对吧？那继续往下嘛，通项公式是n×2 n- 1。对吧，那么2n×n×2 n- 1还能不能再把它拆下来呢？对不对？再拆。再猜的话，你看啊，这里就是。n×2n，那就2n的平方。是不是啊？唉。

这个n×1，但它有减的话，那就减n是吧？它就可以拆成这个样子，拆成这个样子的话，如果我是第一项，哎，我先举个例子啊，这个最后要擦掉啊。我先举个例子，如果我是第一项。那是不是二？乘以一的平方。减一。如果我是第二项。

它是不是就加上二×2^2-2？那我第三项是不是就二乘以？三的平方。剑三。是不是那你有没有发现啊？我都有一我我首先啊，我这个整体你看没有我可以可可不可以把它加在一起？我能不能二×1平方加二×2平方，我把它放在一起行不行？可以的，对吧？然后我这个减不减一减二减三吗？那我能不能减一加二加三呀？可不可以啊？是不是？

然后呢唉，我这个二能不能提取出来啊？二提取出来那就是一平方加二平方加三平方。对不对？减一+2+3诶，什么情况？是不是？那就代表着我这个数呢啊，你看我我这一道题呢，哎，我就可以这么做呀，是吧？我就可以等于。首先，我通项公式是2n平方二的n平方啊。

减n对不对？那我就可以把二提取出来，因为每一个n的平方。它都有二，那我就二就可以提取出来二乘以什么一的平方？二的平方。三的平方。对吧，一直到n的平方，它n是几啊n是不是到了49啊？那就一直到啊。49的平方，那就不要写完了嘛，太多了，对不对？

49的平方好，这是一个n的平方啊，我已经把它写完了，对不对？接下来是n呐n。n代的是什么减号？所以我我减号要有那n是什么一+2加到n对吧？加三+4+n那么n。是什么是49对吧？这这个地方的n是49啊？好，那做什么呀？再来看一下。呃，后面这个呢？

我我也讲过了，那后面这个上一次的视频当中也也去说过啊，这是什么等差数列对不对？哎，给你们标一下啊。这个呢，是等差数列等差数列求和是不是求过啊？怎么求的呀？对吧？这个是不是要用到公式呀？等差数列啊数列。然后前面这里呢，是不是平方你看见没？一平方二平方三平方对吧？这个什么呀？

平方数列。他们都有自己的这个。通项呃，就是求和公式的啊，都有这个求数求和公式的，这个是要记的，看见没有？这个是要做笔记的啊。那么，平方数列的求和公式呢？啊，它是这么样的？首先啊，先等餐吧。等差数列求和公式是SN。

它等于什么呀？等于二分之。n这是什么？加一啊，你也可以写成也写成一+n也是一样的哈，就首项加末项，第一项和最后一项相加。去乘以它的什么像素，它有多少个项对吧？乘n当然了，我们字母之间呢？你这个乘号就不要也可以啊，不要也可以。而且一般情况下，他也不要哎。

二分之n乘以n加一。嗯，首项加末项的合成项数啊好。这是等差等差啊，一定要记清楚了，这是等差数列的求和。那么，平方数列呢？平方数列的求和公式呢？是吧？平方数列的求和公式啊，它和这个等差数列呢，就有一些不一样的地方，比如说你看我这个。首先啊。

它是SN等于六分之n乘以。n+1看到没有n×n+1再乘以2 n+1。什么意思嘛？对吧，就是说这个n呢，指的是它的最后一个数啊，最后一个数。然后呢？这个n也是它的最后一个数，这个n还是最后一个数？来这个举个例子啊，就比如说这里二二肯定要存在的啊，二并不属于这个等平方数列里面的这个数啊。首先我六。对吧。

6÷6的意思啊六。先把它写下来，然后呢nn到几了n到49对吧？n到49，然后n+1那就49加一四十九+1是50对吧？49+1是50，不要算错啊，2n2n是什么意思？49×2啊，49×2是多少？是98对吧？98还要加什么加一的2 n+1好，这里就是99。啊，99。

好，这是什么呀？这是这个平方数列求和，也就是说这个括号里面的就没了，那后面的呢？后面的就是二。二分之nn到几了？n到四十九了，对不对？n加一呃乘五十对吧？乘五十。啊，这个。可以算的吧啊。你看一下这个二和这个六是可以约的。

看到没？这里约一。啊，这里就变成了三，然后这个三和99呢，也可以约的，你看没这里约一这里呢，就变成了33。对吧，你看它就变成什么49×50×33哎，然后再减。这里呢，就不一样了啊，这里二五十和二月份那就49×25。算你们要自己算啊。

自己算这个呢，也可以提取一下49为公因数，也可以不提。最后算下来呢。这是11题啊，就是。有点大。首先前面这个。前面这个算下来是80850。后面这个算下来呢，是1225，总体上是79625。啊，这个数有点大，算的时候一定要注意啊。

好。再看一下第12题。第12题呢？哎，它和前面也又不一样了啊，从51到100，一共是50个自然数。啊，50个自然数。所有的奇数的平方和g为a啊，所有奇数的平方和g为a听清楚了啊，一定要看清楚题目。a是什么所有奇数的平方和所有偶数的平方和即为b那所有偶数的平方和即为b那么AB？谁更大，谁更大。

差又是多少？也就是问你。偶数的平方和大呀，还是奇数的平方和大？那你要先明白a是等于多少a等于多少。奇数啊，51对吧？平方和和那53平方55。平方对吧？57平方啊，往后。到哪里啊？到99的平方啊，我再多写一个啊。这个多写一个嗯。

97平方啊，97平方加99平方。对吧，那么b呢是偶数偶数，那就50平方哦，不对，它是从51开始，那就50不是啊，50不是。52平方。52平方啊，加54平方。加50，这个56平方啊，58平方。

一直加到什么？九十六九十八的平方啊，然后九十一百的平方。好，它问哪一个大？首先，我们a有25个对不对b？有25个。哪一个大其实很清楚，你看。52的平方比51的平方大吧，比它大吧，54比53的大吧，56比55的大吧。啊。

100比99的大吧，98比97的大吧，我每一个数都比你大，对不对？你怎么和我比？所以谁更大？肯定逼更大。肯定是b更大，对吧？每一个数都比你a的每一个数都要大，你怎么比你比不过呀？是吧？那么差。它要求差的话，你来看一下啊。

求它是不是？对应着来减52平方，我本来是加在一起再去减嘛，但是我能不能？就直接52-51^2呢，因为这构成什么？等一下，我跟你们说一下啊b-a，你看b-a就等于52-51^2，这这构成一个。很容易计算的式子，你看啊。所以这些一定要多学啊，这些像你们如果接触过了，那肯定是等一下我讲的时候你们会明白。

如果没接触过的话，那听起来。就好像这个没怎么听过啊，好你看。58平方减57平方。到最后啊。九十八的平方减九十七的平方啊，一百的平方。减99的平方，对吧？那遇到这么一个式子怎么办呀诶？a的平方减b的平方之后，是不是似曾相识啊啊？a的平方减b的平方这什么呀？是不是等于a？

加b×a-b对吧？a+b×a-ba+b的和乘以a-b的差。是吧，平方差公式嘛。平方差啊，平方差公式。是吧，那就什么意思呢？你你你比如说我52。平方减51平方，对吧？我就可以写成52+51嘛，是吧？然后乘以52-51，那你发现没有？

52-51刚好是一对不对？你再看一下，后面这个后面这个是不是也是54先加先加起来再减啊，再乘以减。陈建。对啊，这个是。这个是数字，所以乘号要存在的啊。这个不是不是那个。乘以52-51。好加54。加53×54-53对吧？好你你往后的话就一样的嘛，一样的这个。

有个例子就可以了哈，然后这里就是100+99。呃，乘以。乘以100-99是吧？好，那你看大家都有一嘛，都有一我就乘一可以不乘对不对？52+51，103。再加呃107。你看在家。199。哦，省略号啊。

不要漏掉了。加到99。199嗯，好。那么，观察一下103和107之间，它们的差是多少？四对吧四。你再来看一下，那往后的话就56+55嘛，56+55是多少？111对吧？一十一百一十一之间和107之间还是多少？还是四你再看一下最后这一个98，97。

98+97那和199之间。还是四对不对？那既然都是四，那说明它等差嘛，等差数列是不是刚刚讲过？求和怎么求和？首项加末项对吧？乘以项数，然后呢？除以二是吧？好，你看那就等于。二分之n。n+1，但这两个n呢？

它在这里就不是这个了啊，首先你要知道有一个n是首项加末项。记住了啊，可以不要符号，就是你一定要记得是首项加末项，首项是多少？103末项是199乘以项数，它有多少项呀这里？嗯，首先我们从我们都知道啊，它是从51到100是50个自然数50个。但是呢，你看到没有，我是52和51在一起了，52和51在一起。

它就两个变一个，两个变一个，那50个50个就变成25个。所以它有多少项？25项。25项啊。这个算下来。上下来的话是。3775。好，3775。接下来的话13题。呃，这个13题的话。这个13级的话。

其实。是不是和前面的是一模一样的，对不对？只是呢，它变成了四个数，那也就说我往后延伸，我就会变成五个数了，对吧？哦，一样的哈，这个往前延伸，你看。往前延伸要延伸一它往延伸一的话，是变成一减一等于零是可以有的啊，这个能减它就可以有的哈。

呃，这个呢？我大概写一下，那就等于。一×2×3×4×5对吧？减零×1×2乘。乘三乘四，大家记住了吧？五减零之间是五，所以乘五分之一对吧？乘五分之一。然后呢？啊，这个二×3×4×5×6。往前就是一层二层三层四层五。

大是有点大，你就是别说四个数了，你再往往后你再大一点，你数再多一点也能这么做，对吧？只是呢，你做的时候一定要写清楚了，不要写漏了啊呃，然后呢，怕的就是你们写错啊。18×19×20×21×22。再减17×18×19×20×21，对吧？一样的啊，五五分之一不变。

然后呢，末倒数第二个倒数第二个那就18×19。乘20，乘21，乘22。来减掉正数，正数的话，那就是零了，对吧？这个算下来是算下来是63万。啊63万确实有点大啊，两千零一十六六十三万两千零一十六啊。好，这是第13题。接下来的话就轮到我们的这个什么第14题了啊。

好，这个第14题呢？看一下它是不是直接就出现了平方啊？对吧？那既然是平方的话，那就不太可能用我们的拆分了，那就是要运用到啊，这个数列了对不对啊？这个等差数列呀，平方数列呀，这个啊，立方数列呀之类的对吧？好，那么这里呢？你看一下啊。

首先一二三。你看是不是是不是那那那我的通项公式就是有一个n对吧，有一个n，然后这个n呢？乘乘什么呀？你看啊n乘以这个就是这个就是这个这个这个地方是什么n啊二？这里呢是三，这里是四哦，第三个数是四，第二个数是呃三，第三呃，第一个。自然数的这个地方是二，那就是n+1喽，对吧？

比N多一嘛，比它前面那个n要多一嘛n+1。但是它有一个平方。对吧，那至于这个呢，你肯定要要把它给它猜出来，对不对？猜出来呃，这个猜的过程呢呃，我也给你们演示一下，对吧？那就。就是n。恩城。这个符号可以不要啊。

这个符号不要因为都是字母，都是字母，不要符号啊。n×n+1 n×n+1什么意思？平方是什么？两个n+1对不对？好，这个把它拆出来的话，就相当于首先你用n去乘以n+1嘛，那就变成了n的平方+n，对吧？n的平方+n。再去乘以n+1。对吧，然后这个也是每一项都要乘啊。

最后把这个拆分下来呢，他是等于n的三次方。加2n的平方，再加n的啊，这个拆分下来是这样子的哈呃，这个一定要去会去拆你，比如说你你像这个啊，我跟你们讲一下，像这个你怎么拆？n平方加n去乘，以一下n对吧？去乘以一下n乘以这里的n，然后呢？这个整体再去乘以一下一对吧？加上。

n的平方+n×1×1的话，你可以乘可以不乘对吧？我乘一嘛，我可以乘嘛，对吧？好，那他这个上你看他是不是就等于n的三次方加n×nn平方对吧？n乘以直接去括号就可以了。n平方加n对吧？n平方加n那你看看一下n的三次方是不是就在这个地方有了？两个n的平方看到没有？两个n的平方就2n的平方。然后还有一个单独的n对吧，所以式子是写成这个样子。那既然是狮子是这个样子的话。

它就会产生一个。新的啊，什么呀，我们之前这几次课的还没还没有这个碰到的n的三次方。对不对n的三次方？呃，也就说他要产生了一个立方的数列，对不对？来，然后我们先把这个写一下啊。如果是这么写的话，它是什么啊诶？它就会有一个一的三次方加二的，三次方加三的，三次方对不对？

加四的四四的三次方。对吧，一直加到。19的三次方。好这个呢呃，过程呢，我之前在13题我也讲过，对吧？为什么会有这样的现象啊？为什么会是会是这样的现象讲过啊，然后呢，加二倍二倍一定要有，然后呢，一的平方二的平方对吧，三的平方？

四的平方。最后到19的平方，因为n是19嘛，这里啊，然后呢，一直加。一+2+3+4。加到n也就是19啊，也就是19，等下又写不了了，这个地方。啊加19。那么，来首先立方数列求和，我先不跟你们说啊。

先不说，但是这个不说呢。你至少平方数列求和知道吧，这个二不变对不对？二有的那我们不能变，然后呢，六分之nn是几n是十九十九，然后接下来是n。加一对不对n+1就是19+1，二十二十再减下来就2 n+1了对吧？来再描述一下啊。六分之n乘以n加一，再乘以二n加一。2 n+1，那就是二×19的话。

38对吧？38再加一三十九啊39。这什么呀，这是平方数列。那那么等差数列呢诶，这是什么二分之？nn是19×n+1。n+1的话，那就是。20嗯，好立方数列呢，记清楚我们不是学过等差吗？等差数列是多少？等差式。等差是二分之n。

乘以n加一对吧？好听好了，立方数列的求和。它和等差数列只相差一个二，那么这个二在什么位置在？这个位置啊，也就是说我们把。等差数列的这个这个和平方就可以啊，把这个等差数列的这个结果平方就可以了啊。你看这里就是什么？二分之nn到哪里？n是十九对吧？乘以n加一n加一二十把，这个结果算完之后。平方懂吗？

把结果算完之后，平方最后的话是我看一下啊，最后是有。这个是平方，那就是这个是190平方啊，平方加上中间是嗯。我直接给你们算结果啊，最后的结果给你们。这里是36100。加中间是四万呃4990呃四十四千九百四十，再加最后的190啊190，看到没有？这里是190，这里呢是？算下来。

其实这个就是190的平方，立方和等差也就一阶和三阶之间，他们只是。多了一个平方而已啊好。啊，其实这个是最容易记的，反而是二阶，也就是平方数列的那个，那个也要特别去搞清楚啊。好，最后是。四万。1230好，这是我们的14题了啊，也这一次呢呃。

我们把所有的题目都讲完了，那么呃，大家下去呢，多去练习一下。啊，如果说有还有不懂的地方呢？呃，就可以先可以在那个群里面啊，给向我询问也可以啊。好，那么这节课就结束了。

资源目录

01.小六数学分数乘法篇.mp4

02.小六分数校内复习.mp4

03.小六阶段复习C讲解视频1.mp4

04.小六阶段复习C讲解视频2.mp4

05.公式类计算.mp4

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