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那现在我们就开始正式进入我们的本讲内容的学习啊，我们本讲的内容叫什么呢？叫抛物线和直线的动态问题啊。啊，因为我们这是个录播课啊，录播课的话呢，我在讲的时候呢，我就基本上不停的就我一个题，一个题，一个题，一个题，往后讲就基本上不停的。大家在听的时候呢，你可以听完一个题的时候呢，就暂停一下。

看一下，读一下下一个题，再思考一下，然后结合我的一个讲解来，再去思考好吧？好呃，那这个专题呢？叫做抛物线和直线的动态问题呃，关于抛物线和直线的问题的话呢？其实它在解决的。解答的时候呢，它有两个重要的思想呃，两个主要方法啊，第一个方法呢叫做设点。简单两个字的概括叫设点。

啊，只要你看到抛物线有好几个点，你就把这个每一个点的坐标给它，假设出来，它如果要算直线的话呢，你就利用两点的坐标去求这样一条直线。去表示直接啊，这是一个最核心的方法，也是我们在今天讲的时候呢，最主要的讲解方法。而且我希望大家在做题的时候呢，就是90%以上的题呢，或者说绝大多数题啊，一定都是可以通过设点去做的，而而且我们推荐大家呢。

就是与射电解答，因为射电的话呢，是一个通法啊，是一个最好的方法啊，但是除此之外的话呢，有同学说呢，我有的时候呢，可能可能觉得射电比较麻烦啊，但射电一点都不麻烦。你想去射线啊，你去假设一条直线的表达式，然后呢，和抛物线联立之后呢，那你这个时候呢，一般情况下都是要用到韦达定理啊。

得到两根之和是一个什么式子？啊，两根之积是什么样的式子？从而再进一步的化简，这个方法叫设而不求啊，就你把这个啊，你就假设呢。呃，直线和抛物线的交点呢？叫做x1x2y1y2x1y1x2y2，利用韦达定理来去处理，你也能得到呢是？射点所得到的这样一个一般结论，但是呢，我个人建呃建议啊。

大家在做这个抛物线问题时候呢，你优先考虑射点。或者说呢，你所有题都考虑设点，也没有什么特别大的问题，好，我们就看题啦。我们今天会给大家讲解啊，我们给大家准备了九九道大题啊，这个九道大题的话呢，我看看我们能讲多少啊，我们大概要讲一个半小时左右啊好。好，首先咱们来看第一道题啊，第一道题呢。

它说有一个抛物线呢，它与x轴交于AB两点，那么点a的话呢，它是在一条直线上。好呃，并且呢，发现呢呃，它说这个直线呢，和这个抛物线的另外一个交点叫做c点啊，然后呢，与y轴交于m点。好，第一问让我们直接写出a点坐标啊，那显然a点坐标就是直线与x轴交点呗，那不就是负三零？

好，那么因为这个a点的话呢，它在这个抛物线上啊，那么把这个点坐标呢带入到抛物线。好，你也可以把这个参数a给它解出来。好，这个解决这个结果的话呢呃，目测一下呢，它应该是等于四分之一的啊。好，这是咱们第一问啊，那第二问的话呢，我们说首先说呢，这个抛物线的方程的话呢。

就是四分之一x方加上x加三。呃，这是我们的抛物线啊，加四分之三。噢，抛物线的方程。好呃，那像这样一个它说呢，现在有一个p点坐标呢，叫负一负二。我把这个PC 1连的话呢，它和抛物线呢交于一个e点啊，我们连接AC连接ae啊，分别交于m点和an点。我们要求这个om和on的乘积是否为定值好。

你要判断om和on的乘积是否为定值，其实你就是要把这个m点坐标和n点坐标给它分别解答出来。然后呢，把这个om on这两个线段长度表示出来，从而呢，判断这样一个值乘积是否为定值是吧，所以归根结底的话呢，我我们还是要求这样一个。m点和n点的坐标，那这样一个几何关系的话呢，其实是比较复杂的几何关系啊，但是呢，既然它是个抛物线的问题的话呢。呃，你如果知道抛物线问题的一个核心思路。

做这道题的话呢，那就非常简单啊，如果你不知道的话呢，就觉得它很复杂。我们应该怎么做画面？就是很简单，两个字啊，思路的话呢，就是两个字就概括了叫设点。好抛物线的问题就设点吧，啥意思呢？你看这个抛物线上有几个点呢？有a点c点e点在抛物线上啊，那a点坐标的话呢，我们是比较清楚的。

它叫负三零嘛，对不对？好，那我就不写了，那你就假设呢，这个c点的坐标横坐标叫做m纵坐标叫做四分之一m的平方，加上m加四分之三。这是c点那e点坐标的话呢，同样的啊，你假如它是横坐标，叫做n纵坐标的话呢，就是四分之一n方加n，加上四分之三。好，那我们就可以利用这两个点。

把直线c1给它表示出来。好，那你看我们先来求一下c1的斜率。纵坐标的差底，纵坐标的话呢呃，它们的差你要呃。因为纵坐标是由三个数构成啊好，那第一个数做出来啊就是四分之一的m方减n方，那就是m加n乘以m减n。第二个呢m-n的话呢照写。最后四分之三减四分之三零，不用管它了啊，那纵坐标的差的话呢，那横坐标的差值是多少呢？m减n。

好，那m和减n约掉之后呢？这个结果是等于四分之一倍的m加n，再加上一，这就是直线c一。啊，这种呢，你可以得到呢呃，直线c1的斜率啊，从而你可以得到呢。直线c1的方程是多少呢？好，我们用l表示直线好吧？它的方程的话呢？好。

那就是利用这个斜率啊。四分之一倍的m加n加一啊。再结合这个c点啊，利用c点和这个斜率啊，好就是x减m加上四分之一m的平方。加上m加四分之三这个式子呢，我们可以稍微整理一下，我们先说这个结果啊，这个整理出来结果的话呢，它一定会出现什么呢？这个结果它一定会出现m+n和m×n这两个部分，我们最后呢，得到的就是m+n和m×n的关系。一定能得到这个东西啊啊。就这个结果的话呢。

它一定最后得到的是什么呢？得到的是m+n。啊m×n的关系啊。肯定是一个关系式啊。好，那我们把这个式子呢打开啊，写成是一个斜截式啊呃，就是打开啊，写成是啊，四分之一倍的m加n加一。啊倍的x。好，剩下部分的话呢，把这个把这个截距算出来，那就是四分之一m倍的负的m加n。

再减个m，加上四分之一m的平方，加上m，加上四分之三好，我们来算一算这个结果是多少呢？好就是加上一个四分之三。呃，这样写吧。好减去一个四分之一倍的。m乘好。加上一个四分之三好，这就我们得到这样一个直线c一的方程。那你得到直线c1方程之后呢？我们现在呢？因为你这个直线c1的话呢？

它是经过p点啊，或者我们先先不先不看这个p点，那其实我们说呢，同理可得。啊，注意啊，这个地方呢？啊，同学们，要问一下学校老师可不可以这样写啊？我喜欢用同理可得。同理可得可得什么呢，小伙伴？既然你能够用c点和e点坐标求出这个直线c1，那你是不是也可以利用c点和a点坐标求出直线AC？

那你在求直线AC的时候呢，这个推导过程是完全一样的，我们只需要在上面这个时候呢，把这个。呃，把这个ce这个方程呢？当中的e点呢？你把这个e点啊，我们只需要把这个e点呢诶，等会啊。我们只需要把这个e点呢，给它转化为呃，就是用a点来表示啊a点的横坐标是负三纵坐标是零，我们直接把这个e点的横坐标n。用a点的横坐标负三替代啊。

从而从而呢，把这个一式呢，在这个一式当中啊，把这个n由这样一个负三来替代，你就可以得到直线AC的方程。为什么呢？小伙伴们，因为我们说在整个推导过程当中，它的计算逻辑是一样的，你都是先算斜率再来表示这个直线。唯一的区别就是什么呢？就是你这两个点的横坐标不一样而已呗好，那你就在上面这个计算结果之下，但是形式是一样的，结果的形式呢？

仍然是这样一种形式。结果这个形式的话呢，当然还是这样一个，一是这样一种形式吧，只是它横坐标要稍微改一改好，那么我就利用a点的横坐标是负三和n点的横坐标和c点的横坐标是m啊，在这式子当中。用n把n把n替换成这样一个负三就可以了，好就是y等于多少呢？y等于啊，因为a点的坐标是负三零啊。好把这个n替换成负三啊，就是四分之一倍的m减三，加上一倍的x再减去一个四分之三倍的啊，把啊把n点换成负三啊。

加上一个四分之三倍的m。再加上四分之三就可以得到直线AC，同理的话呢，你也可以得到直线ae。好，这三条直线呢？a cae呢？还有ce都会表示出来好，那你同样的话呢？利用a点和e点呢？你可以得到直线ae。那它的方程是多少呢？好，就是在这个式子当中，把这个m点替换成负三就是四分之一倍的n减三。

加上一倍的。x加上一个呢四分之三倍的n。加上一个四分之三，对不对？好，你就可以得出是的好，那你三条直线都表示出来，接下来你再看题目条件啊。那首先第一个呢，我们说呢，由于呢？直线c1，它是经过p点了好就说p点负一负二呢，在这样一个直线c1上。好。

我们将这样一个p点的坐标呢，代入到一式当中啊。好，可以得到什么呢？得到一个m+n和m×n的关系啊，一定是m+n和m×n的关系啊，注意这个结论啊，一定是这样的关系啊，好，你把这个负一。放到那里去，那有多少呢啊？我们说便打个草稿好吧？四分之一倍的m加n加一啊，当然我们要乘以个负号啊。

负一啊，负二啊，减去一个四分之一倍的mn，加上四分之三等于负二。好两边同时乘以一个四吧，那就是负的m+n啊，减去一个四。减去mn。嗯哦，负一份哦，好好吧，然后呢，加上一个三=-8。左边移到右边去。好把左边一个尾数可以得到什么。

后面得到一个啊m×n+1个呢m+n。啊四移过去是负减七啊，减七=0 OK好，咱们可以得到这个结果啊。好计算的时候呢，稍微小心一点啊呃，如果大家发现我今天在计算的时候有些出错的话呢，我我等会看到以后我再。改一下，我就直接在这个视频当中改，因为你要我重新录的话呢，这个太这个太麻烦了好。希望大家理解啊，那同样的话呢，我们说呢。

二式呢，这个叫二式啊，这个直线二啊啊，这叫三式好吧？那由这个二式和三式呢，你可以得到这个m点和n点坐标啊，我们说呢啊，同样的由这样一个二式呢和三式。可得你在20当中，你令这个x=0啊或者啊，你可以得多少呢这个？啊AC和y轴的交点c点m点坐标啊，那么m点的坐标就是四分之三m，加上四分之三。啊。

当然，这是纵坐标，不好意思啊，横坐标是零啊。好，四分之三m加上四分之三。好，同样的话呢，你可以得到n点坐标呢，你在这个三式当中，你令x=0，可以得到n点坐标啊，那就是零。四分之三n加上四分之三，于是呢。

你就可以得到了这个om和on的值了好，于是呢。它有没有说这个哦，斜率大于零，斜率大于零的话呢？那这个就好说了好，那于是呢，你可以得到这个om的值是多少呢？就是这个m点的纵坐标，是不是后面啊？是等于四分之三m加上四分之三on的值的话呢？就是n点的纵坐标就是四分之三n加上四分之三。也就是呢，你可以得到呢om和on的乘积，你可以提个四分之三出来。

四分之三倍的m加一啊，乘以四分之三倍的n加一。好，也就是十六分之九倍的，这式子咋展开啊？mn加上m加上n再加上一。好那。前面的话呢，我们给大家已经分析过了，小伙伴们稍先，我把这个稍等一会儿，把它隔一下啊。好，这个叫三四式吧？好。

那么由这个四式呢？我们将四式呢带入上式当中啊。啊，你可以得到呢。这个om×on它等于多少毫米？好m加n，再加m加n是等于七的，把这个七代进去呢，就是七加一等于八八再乘以它的话等于二分之九。也就是这个时候呢，你可以得到这个om和on它的乘积是一个定值叫二分之九。好，大家注意啊，我们在做这道题的时候呢，其实我们用了一个方法。

叫什么呢？就是设点的方法。当然，我知道有同学，他可能会受限啊，有同学呢，在表示这个直线ce的时候呢，比如说你可以另解啊，我在后面写个，比如说你可以另解啊。有同学说，我在表示这个直线ce的时候呢，因为这个直线ce它是经过负一负二的，那你可以假设它的方程是y=k倍的x+1。减去二然后呢？

再和这个抛物线呢？做一个联立啊。好，然后呢？得到的两根之积啊，得到一个什么x 1+x二什么x1×x二可不可以呢？或者说得到一个啊，也也就说这个c点和e点就是得到m+n和m×n。啊，得到一个什么呢？m+n。等于多少啊？m×n等于多少？让它把这个m+nm×n的话呢？给它带入到下面这个式子当中去。

啊，也可以解是不华文也可以算出最终结果出来，但是我还是建议大家不要射线做这种题，你就设点设点做，你不就分分钟写完吗？你现在把这三个点敲出来。你只是要算出一条直线啊，就是你把直线c1算出来以后呢，你同理可得AC和a1不就是把这个横坐标一换嘛。不就可以得到这三条直线嘛，那这三条直线出来以后呢？你看这个直线，它是经过哪个点的啊？经过一个负一负二就得到一个m+n和m×n的关系。好。

然后呢？把这个m的坐标n的坐标啊，令x=0，求出来就可以得到om和on的值，这样一算就完完了嘛。所以思路呢，其实很简单啊，就是设点啊好，这是咱们的第一题。好，那接下来我们用同样的思路呢？可以来看一下第二题啊。好，我们可以看下第二题。好。

稍等一会，我看我我这个课有没有录上去啊？要没录上去就很尴尬啊，稍等一会，我看一眼啊。呃，我看看啊。哦，好的好的啊，录录进去了，录进去了，好，那我接着往下说好，那接下来直接看我们看第二题啊啊，同学们可以暂停一下。

我就直接讲了，你们可以暂停一下啊，我就直接讲了。它说现在有个抛物线呢，叫做二y等于二分之一x方减去二分之三x加减二啊，它说呢，它与x轴交于a点和b点啊，那这个时候你可以很容易把这个a点坐标求出来，你令它等于零的话呢。目测一下啊a点坐标应该是负一零的。这个应该是负一零。b点坐标的话呢，应该目测一下就应该是呃四零啊。好，它说p点呢。

是在这个抛物线呢，它x轴下方的一个动点好，它说直线AP呢，它与这样一个y轴交于m点啊，直线BP呢，与y轴交于n点。要求这样一个om×on的最大值，说白了，你就是把这个m点坐标表示出来，你把这个n点坐标表示出来。是不是这意思？同学们好，那我们把这个mn坐标分别表示出来，这个题就做完了嘛？好。

那接下来我们再看一下好。涉及到抛物线上三个点啊，那你就怎么样来，我们来解一下。很容易知道呢。a点坐标是负一零的。b点坐标是四零的啊，我们假设这个p点的坐标呢是叫做m啊，叫做二分之一m的平方，减去二分之三m减二。其实我在算这个算这个直线PA和PB的方程的时候呢，我喜欢这样想啊，好大家可以借鉴我的写法，你可以直接算啊，你就拿p点a点直接算也可以啊。

或者像我这样写也可以啊啊，我们假设呢？我们假设呢？抛物线上的啊。我们再假设吧。抛物线上啊。好任意一点啊。当然，它是要和p点不一样，比如有个q点坐标啊，你想想它横坐标是n纵坐标是二分之一n的平方减二分之三n减二。好，那这个直线的pq的方程呢？你可以把它写出来。好。

我们就利用这个符号，这两个符号好。呃，也就是呢呃，我们先看它斜率吧。啊，我们先说一般情况啊，就是说这个值这个抛物线上任何两个点啊，这抛物线上你随便取个点啊，比如你随便取个q点，那么这个pq的方程的话呢，你其实可以把它表示出来是不是？好，那你可以得到什么呢？呃pq的斜率是多少呢？

纵坐标的差啊，我们用啊，那是二分之一倍的m加nd项相差啊，就是m减。第二项做差减去二分之三倍的m减n，第三项负二和负二的差零，不管除以横坐标的差就是m减n，这个结果呢？等于。二分之一倍的m加n减去二分之三好，你可以把这个pq的斜率算出来，所以呢，这个直线pq的方程是多少呢？我们也是完全一样的啊，和上一个题的思路呢。

完全一样，你把直线PK方程写出来，它是多少呢？y是等于二分之一倍的m加n减去二分之三倍的括号。啊x减m加上二分之一m的平方，减二分之三m减二，这式子呢？我们可以稍微整理一下。二分之一倍的m加n减去二分之三括号啊x，剩下部分的话呢，我们也来整理一下啊，就是负的二分之一MM加n。加上一个二分之三倍的m，加上二分之一m的平方，减去二分之三m。

再减个二。约掉约掉约掉约掉就是负的二分之一倍的mn，再减去一个二。我们刚才给大家说过啊，我们最后这个式子呢，它一定是一个什么样的式子啊，这这个式子形式呢，它一定是一个m+n。与这样一个m×n的一个关系式注意，小伙伴们，你如果算出来不是这样一个结果啊，不是这样一种形式，你肯定是算错的。你如果算出来是个什么啊？二分之一m加上一个二n。

那你就算错了，因为它并没有m加n这个整体啊，它一定是关于这样的式子。啊的关系式啊。好的，那同啊，于是呢，同理可得啊，同理可得啊，我们说同理可得。有同学说，老师，你是不是有搞错了呀？这个地方都你为什么算个一般情况呢？我们算一般情况的话呢？

就是想用想用这个同理可得啊。同理可得，如果你在上面这个式子当中，你把这个q点的横坐标取作a点的横坐标，就是取负一就是你取n=- 1。啊，取一个n=- 1可以得到什么呢？可以得到这个直线的AP的方程。好，你把这个n=- 1代进去啊，那就是二分。好y是等于二分之一倍的m减一减去二分之三倍的x。好，然后呢？把负一带进去是吧？

那就是加上一个二分之一倍的m减二。好，同样的话呢，如果你取一个n等于负等于三啊，就呃n=4啊，你把这个b点的横坐标呢带进去啊，就是n=4的时候带进去啊，那你可以得到呢？这个直线PB的方程为多少呢？好，它的方程就应该是y等于二分之一倍的，把这个n取四啊。m加四减去二分之三倍的x加上一个二分之一倍的。啊不对，加上一个两倍的啊。

两倍的m- 2。好于是呢，你就可以得到m点和n点的坐标了。于是呃，我们令这样一个x=0得到呢？m点的坐标就是横坐标为零，坐标是二分之一m减二，好n点的话呢，它的横坐标是零，纵坐标是二m减二。好，所以呢，我们知道那个om和on的乘积。好，那om的话呢。

其实就是二分之一m减二，它的相反数啊，就是二减m是二加fdm是不是毫秒？那on的话呢，就是多少呢？那就是呃，这个n点它纵坐标的相反数，那就是二减二m。好，这个式子呢？我们可以来算一算啊，展开之后呢？可以得到一个关于m的二次函数啊，那这个抛二次函数的话呢？它有最大值啊。

那就是。诶，等会儿。哦，不好意思啊，这应该是负的啊，秀逗了，不好意思，我把这个n=4代进去以后呢，它应该是多少毫米？应该是负2n啊，负2m呢？我说怎么算出来这么奇怪啊？负2 m- 2。啊。

所以呢，这个应该是负2 m- 2，所以这个地方应该是多少呢？应该是二+2m。啊二+2m就是取它相反数嘛好，那这个式子打开之后呢？就是负的m的平方呃嗯。看看啊，加上一个5m是不是？4 m- 3 MI。好，我们来旁边打参考吧，四减m乘以一个m加一啊，那就是m的平方减去一个呃，加上啊负m的平方加上三m加四啊。

okay，那就是负m的平方，加上一个3m。再加上一个四，我们来配方以后呢，就是负的m减二分之三的平方啊，四分之九加四，四分之二十五。好，所以呢，我们就知道这个式子呢，它是小于等于。四分之二十五的啊，所以我们说呢，当你这个m等于二分之三时。

啊，这个式子呢？om×on它的最大值。是四分之二十五。OK，好，这是咱们的这个问题啊，相信大家应该能够理解吧。好，这是咱们第二题思路，也是一样啊，咱们设点就可以啊啊，没必要去设线啊设点。其实我再稍微多说一点呢，我们为什么不喜欢射线啊？

因为射线的话呢，你就面临一个问题，你要拿直线的方程和抛物线的方程去联立。然后呢？联立以后呢？还要去呃看一下两根之和两根之积，那这个计算过程会稍微复杂一点，因为联立的话呢，它本身就相对复杂一点点了。好，那我们接下来说说下一题啊。接下来，我们看第三道题啊，它说现在呢，有一个抛物线呢。

它和这样一个x轴交于AB两点a在左b在右啊，第一问我们。第一问呢，我们就不做了，第一问不做了。好，那这里呢？这样一个式子呢？我们肯定想着是把这个呃，这个式子呢？再做一个呃，把这个a点和b点最把它算出来。啊，因为你这个地方可以用十字相乘法，可以写作什么呢？

一一啊x平方系数啊，常数项的话呢，把这个式子来做，因式分解就应该是。呃t- 3×t+1啊，这样十字相乘正好是等于2 t- 2啊，所以呢，这个这个式子的话呢？你可以把它写作什么样呢？可以把它写作是x+t- 3×x+t+1啊，这个抛物线可以这样写啊。好，也就说呢，你可以得到这个a点，坐标是多少呢？

啊，也就说你可以得到a点坐标和b点坐标啊啊，以及c点坐标啊。接下来看第二问。第一问就不看了，我们看第二问，第二问的话呢，它说当你这个t点呢，它是大于负一小于三的时候。啊t大于负一小于三。好，这句话什么意思？我们啊呃，这个我们先呃好，有时候呢。

我们可以看到啊a点的坐标是多少呢？好，它的是三减t哦，不对啊，应该是负一减t啊。就是你令这个抛物线为零，也可以得到a的坐标是负一减t。b点的坐标的话。好b点的横坐标的话呢，就是叫做呃三减t啊。纵坐标是零好，可以得到a点b点啊c点坐标的话呢，它是多少呢？c点的坐标的话呢，就应该是零啊。

令x=0啊，纵坐标就是啊t方减2 t- 3，它现在题目告诉我们呢，这个t的范围是大于负一小于三。也就说明你会发现呢，这个式子有什么用呢？其实你可以看出来这个c点的纵坐标呢，这个式子它其实小于零的。啊，因为在负一到三之间，这个这个不等式，它是小于零的是不啊，这个是小于零的，所以c点是在抛物线的啊，在x轴下方的。

好，它就说q点呢，是在抛物线上的一个点啊，和AC不重合，然后呢，直线qa和qb呢，分别与啊qa 1连交于d点啊qb 1连交于e点啊，那么在q。q点在运动的时候呢，是否存在一个位置，使得ce的长度是等于两倍的CD长度啊，如果存在的话呢，求出t点的取值范围。取值好，那这个问题我们也是一样啊。

你要把这个c点坐标表示出来e点e点坐标呢，还有d点坐标都求出来啊，那整个求的过程是一样。但这道题呢，它可能是因为这个a点和b点是用符号表示的啊，所以在计算的时候会稍微显得麻烦一丢丢，但也没有什么本质上的区别啊，我们来算一算啊。我们也是一样，怎么做呢？思路的话呢？就是设点。我们就假设呢q点的坐标，它的横坐标叫做m吧，纵坐标叫什么呢？

叫做。m的平方。好加上一个啊，2 t- 2倍的m+1个t方减2 t- 3，有同学看到写到这个地方来就把它吓到了啊。其实其实我们说试点做题，它这个最后结果呢呃，算起来很简单的，我们来算算啊。好，那你看呢？我们现在就利用什么呢？我们我们也是一样啊，我们就干脆呢，在这个抛物线上呢。

随便假设有个点好吧，我们假设呢。抛物线上的任意一点。好，当然是和q点不一样啊，它的横坐标叫做n纵坐标，叫做n方，加上2 t- 2倍的n加上呢？t方啊，减2 t- 3 OK好，那你可以把这个直线呢，这叫p点吧？把直线pq呢给它算出来，我们先算，一般情况下好。

我们可以得到呢。pq的斜率是多少呢？好纵坐标的差啊，第一项相差相减m方减n方那就是。m+n乘，以m-n。第二项呢，做差加上一个2 t- 2倍的m-n，第三项的话呢，就是t方减2 t- 3就直接。约掉了，没有了啊。除以横坐标的差，叫做m减，这个结果算出来是等于多少呢？

是等于m+n，再加上一个2 t- 2。rt型。好，你可以得到呢，这个直线的pq的方程y是等于m+n。啊，加上2 t- 2倍的啊x呢啊，我们就以p点为例啊哦，我们以q点为例好吧好，你拿q点来算吧。减去m+1个m的平方，加上2 t- 2倍的m，加上t方减2t。加三啊。

减三。好，这个式子呢？我们打开呀，就应该是m+n+2 t- 2倍的x后面的话呢，我们会打草稿啊。负m和前面这个系数相乘啊，负m的平方减mn加上二t减二倍的m。好和后面这个部分呢，加上m的平方，加上一个2 t- 2倍的m，再加上t方减2 t- 3。约掉，约掉。那这个是负的。

这是负的啊，然后这个m的平方越大，减去mn，再加上一个t方减2 t- 3好这个式子，最后化简出来这个样子啊。好okay啊那。那于是呢，同理可得啊，同理可得。当我们把这个p点的横坐标n。取作a点的横坐标负一减t啊，你可以得到呢，这个PA的方程啊qa的方程啊。好，就把这个n点呢。

取作多少呢？把这个任意点和p点的横坐标n取作a点坐标叫负一减t啊，把负一减t代进去啊。负一减t代进去啊。好负一减t，那就是多少号位？但是我们不需要去算，我看看要不要算啊？再把pq的方程啊ce。好，我们我们其实是不需要算这个直线的，我们直接呃，这样吧，小伙伴们，我们可以呢由pq呢这条直线呢。

你可以得到呢。这个pq。的在y轴上的。与y轴的交点。好纵横坐标是零纵坐标的话呢，就是呃负的mn+t^2减2 t- 3好，你可以得到。这样一个焦点啊好，那同理可得。好当我们这样一个呃，我们取一个n啊，如果我们取这个横坐n呐，就这个p点的横坐标n，它是a点的横坐标为。负一减t呢。

你可以得到呢。这样一个直线a呃就直线qa啊，或者叫aqa。它与y轴。的焦点为多少呢？好，那就是把n取作是负一减t啊，那就是零。好m倍的t+1，再加上t方减2 t- 3。啊，那如果你取一个p点的横坐标啊，就是n的横坐标为多少呢？为三减t的话呢？取n是等于一个三减t呢？

你可以得到呢。这样一个啊。嗯，刚才是得到bq I。它与y轴的交点为多少呢？好零啊，把这个取作是三减t啊，三减t那就是m倍的t减三。再加上t方减2 t- 3好，那这时候呢，你可以把这个啊啊。啊啊，当然我们说呢aq的话呢，它和这样一个y轴交点叫做d点啊，这个点叫d点坐标啊。

好，这个点叫e点坐标啊好，那这时候呢，你可以把这个d点坐标e点坐标求出来啊，那这个时候呢ce和CD就求出来了。啊，我们写左边，于是呢。啊c1的长度是多少毫米？我们就以此图为例，啊c1的长度就是拿e点坐标，减去c点坐标啊，拿e点坐标e点，这个纵坐标是多少呢？啊。

那c点坐标是t方减2 t- 3啊e点坐标啊，用e点坐标减呃错呃，用e点坐标减c点坐标。那就是多少毫米？那就是m倍的t- 3了，对吧？这是咱们的。嗯m。q点m。好，或者我们这个地方最好是加啊，我们说可以得到这个结果啊，好，那同样的话呢呃de的长度呢，我们呃CD的长度呢。

我们也可以用。c点坐标啊，减去一个d点坐标，那就是多少号呢？那就应该是呃。好负m倍的t- 3啊，由题意知。这两个长度呢，它是有一个两倍的关系啊，那也就是呢m倍的啊t- 3，它是等于负2m倍的。t- 3哦，这应该是哦，左边是t+1啊t+1，不好意思啊ce的话呢。

我看看。哦，这应该是哦CD的话，应该是t+1啊，这应该是t+1。稍等一会，有个电话，我把它挂一下。好，刚才把那电话挂了一下，那我们用啊，稍等一会啊，那就是啊呃CD的用c点和d点c。c点和d点那应该是用c点坐标，减d点坐标啊。

负m倍的t+1啊，这是t+1。好，这时候可以得到什么呢？最后得到它是负二倍的t+1好。这式子我们整理一下，把右边移到左边去，提一个参数m出来就得到是什么呢？3t呢呃，3 t- 1啊，3 t- 1。等于零，它是恒成立的。好，它是横成立的好。

那这个式子，它如果横成立啊，因为m点是什么东西呢？m点是p点的呃，是你假设q点它的横坐标。m点是q点的横坐标，那么这个m为任意值啊啊，于是呢，我们知道呢，这个式子如果横成立的话呢？t等于三分之一时啊t等于三分之一，这个式子是恒成立的啊，也就是说呢。t等于三分之一时。啊。

始终有什么呢？始终有c一是等于两倍的CD啊，也就是证明出来的这个t的值是等于三分之一的。好，没问题吧？朋友们，可能我在写的时候呢，和我们有些学校老师，包括我们初三老师写的时候呢，有一点点小小的区别啊，因为我是喜欢怎么样呢？先把这个一般形式写出来。好先任意的取一个p点啊，把这个pq表示出来，把这个什么纵坐标表示出来。

这时候呢，你只需要同理可得就可以了。好，但有同学说呢，我好像学校老师要求不能这样写，那你就按照学校老师要求的方法来把PA呃，就你算两次啊，把这个什么呢？qa算一下qb算一下啊，把这两条直线算出来之后呢，再算算两个两个点坐标，我这种算法的话呢，只需要算一次啊。就是拿一般情况下拿一个一般式来算的啊，拿一种一般情况来算的话呢。

我这种方法呢，只需要写一次啊，就用同理可得啊。但是如果呢，学校老师说不能同理可得，那你就算两次吧好，这是咱们的这个问题。接下来我们再说下一题。好题目比较多啊。好。OK，小伙伴们，那我们看这道题这道题呢，它说也是一个抛物线啊，这个抛物线呢。

它与x轴交于AB两点a在左b在右啊，那这个a点我们令它等于零的话呢？是很容易得到呢，我们先把这个已知结论先写下a点坐标是多少呢？很容易得到a点坐标是呃a0。b点坐标是3a零啊，这是我们可以得到它与y轴交于c点。c点坐标是多少毫安？是零三a。好，那现在呢？他说呢？呃，如果有一个q点呢？在这个抛物线上啊qaqb呢？

分别交于d点和e点啊，让我们。判断一下呢CD呢，和这个de的比值是否为定值啊？完全一样的方法和上个题完全一样啊，那你就。呃，也是一样的。我们还是设点吧，假设呢q点的坐标。横坐标叫做m纵坐标叫做am方减去4 am+3 a，我们假设呢？抛物线上。任取一点p啊。它的坐标叫什么呢？

叫做nan方减去四倍的an。加上一个3a好，那这时候呢？你可以把这个一般情况下它的这样一个焦点坐标给它算出来啊好。那我们可以把这个pq的方程。给它解出来啊，那先算斜率啊。横坐标的差a倍的m方减去n方就是a倍的m+n×m-n。好减去一个4a倍的m-n啊3a和3a的差为零，不管。横坐标差的话呢，就是m减。啊，所以这个结果等于多少呢？结果是等于呃a倍的m+n再减去一个4a。

好，这是pq的斜率啊啊，那么这个pq的方程的话呢？我们来算一下啊。好y是等于a倍的m+n再减去4a。括号啊x-m+am^2减去4 am+1个3a。好，从而你可以把这个直线pq的方程给它写出来啊，那这个横坐标呃，那这个式子的话就是a倍的m+n- 4a倍的x。好，然后呢？后面的话呢？负am倍的m+n- 4 am。在咦哦。

加上cm啊，那这个就是负的a倍的mn。再加上一个3 a OK啊，咱们可以把这个pq的方程给它写出来。好，我先喝一点水啊。呃，已经讲的有点口渴了。喝个快乐肥宅水啊。嗯。好，那我们可以，我们如果令呢，我们因为这里面我们要考虑到什么，考虑到这个直线呢。

它和这样一个y轴的交点啊，与y轴的交点，所以你就直接令什么呢？令x=0得到呢，一般情况下呢lpq它与y轴的交点是什么呢？横坐标是零纵坐标的话呢，就应该是。负amn+1个3a。好，那我们这个时候呢？我们说呢？同理可知了。我们如果呢，在这地方，我们如果把这个n点呢。

取作多少呢？我们取n呢，就是p点的横坐标，如果我们取作是a点的横坐标，也就是取n=a时。你可以得到什么呢？得到的这个d点的坐标啊，就是aq呢，我们写慢一点吧。啊得呢，这样一个直线的aq。或者qa。它与y轴。的交点这个交点叫什么呢？叫做d点啊d点的横坐标呢？

叫做零纵坐标的话呢？把它进去啊，叫做负a方倍的m。加上一个3a。好，那我们如果取一个n是等于3a的话呢，你可以得到什么呢？得到这样一个qb呢，它与y轴的交点。叫做。呃，叫做e点啊。横坐标是零的话呢，纵坐标就应该是啊，把这个3a带进去的话呢。

就应该是负3a方。m+1个3a好，那现在你可以把这个CD的长度呢表示出来啊，于是呢，你就知道了。CD的长度呢？我们用c点的坐标啊，就是3a啊，减去这个d点坐标啊，好的，应该是CD长度的话呢，应该是a方倍的m。好，那这个ce的长度的话呢？用c点的坐标减去一个e点的坐标。

那就是3a方m。啊，所以呢CD呢？比上c1啊，比上d1啊，我这个地方应该是d1，不是c1啊。哦哦，比上d1是吧？CD比上d1啊那哦，我们刚才是把CD给c1求出来是吧？那也可以啊，一样的。所以CD比上ce是等于多少呢？CD比上ce的话呢啊。

算了，我们直接求de吧，没必要这样求啊，好，那我们把CD长度求出来啊那。de的长度呢，就拿这样一个d点坐标减去e点的纵坐标就应该是二倍的a方m。所以CD比上de是等于一比上art啊，所以这里答案应该是一比二，是不是很简单花呗？就是设点就完了，非常简单，对不对？好希望我们在这道这些题当中呢，能够给大家带来一种通法啊。

给大家带来一种思路啊好。啊，当然也有可能你们就已经非常强了，都知道怎么做了，只是为了巩固一下这个以前的认知也是可以的。好例五道题，我们也快速说，现在抛物线的方程是经过负二二的啊，那直线OP呢，和这个抛物线只有一个交点相切啊。啊，那现在呢？抛物线上有一个动点a点啊AP交于cpb呢啊AP与x轴交于。c点啊，连接oa啊oa和抛物线交于b点啊。

连接PB PB和这个抛物线呢，交于c点啊，证明这样一个oc和od相等。也是一样，把c点坐标和d点坐标分别求出来就可以了，好怎么做设点？好哦，当然我们设定前我们先要把这个抛物线的方程写下呃，我们将这样一个。首先呢，我们可以把这个p点坐标带入到方程中去啊。啊，我们说呢。代入这样一个p点的坐标，可以得到呢。

这个抛物线啊，就什么呢，叫做呃4 a+c是等于二的。啊，这是对吧？第一个方程，第二个呢OP和抛物线相接啊，这个OP这个直线呢，它的方程是y=-x。啊，你可以联立一下这个抛物线y=ax^2加上c还有y=-x呢，得到一个关于x的一元二次方程，那ax方加上x+c。等于零啊，那由题意可知。

这个德尔塔怎么样呢？因为是相切啊，所以就是德尔塔等于b方减4 AC=0，这个叫一式。这个叫二式。好，那由这样一个一式呢和二式呢，可以把这个a和c给它解出来。好呃a是等于四分之一的啊c是等于一的。好，也就是呢，这个抛物线的话呢，是y等于四分之一x方加上一个一啊，这是咱们的抛物线方程。好。

那有了抛物线方程以后呢？接下来我们就呃正常的去啊，算这个c点和d点吧，好吧，我们来算算啊。呃，我们可以取这个抛物线上。啊，任意一点。叫做q点吧q点的横坐标呢，我们用一个用一个n用一个m表示吧，那就是m。四分之一倍的m的平方加一好，那这个pq的话呢？它的嗯。

啊p点方。嗯，好。那我们可以把pq放成啊，这个p点的坐标是负二二啊，我们可以利用这个pq呢啊，会得到呢pq的斜率是多少呢？纵坐标的差就是四分之一m方加一减去二除，以一个横坐标的差m加二。这个等于多少呢？分子提个四分之一出来啊，就是四分之一倍的m减二啊不对。啊m- 2对m- 2。好，这就是斜率嘛。

okay，没问题啊，那么这个pq的方程是多少呢？啊，我们利用这个斜率呢，和这个点坐标啊，那就是四分之m减二。倍的x-m。好加上一个四分之一m方加上一这个式子呢呃，我会把它稍微的整理一下，整理出来那个结果啊，肯定也是一个什么m和负二的和和积的关系啊。好，也就是呃，四分之m减二倍的x后面的话呢就是负四分之一m方约掉啊。

就是加上一个二分之一倍的m加一啊。好，因为你现在要算什么呢？你要算的是它与x轴的交点啊，我们可以令y=0。啊，可以得到什么呢？得到呢pq呢，它与x轴的交点。好呃，令它等于零的话呢，你可以两边同时乘以四就是啊四+2m。那加上一个m- 2倍的x是等于零的，那这个x等于多少画板？好x的话呢。

是等于。呃四+2m÷2-m0ok好，这就是咱们可以得到这样一个方得到一个呃焦点的坐标啊。那于是呢，我们就同理可得嘛。好，那同理可知。我们如果呢？取一个啊，取一个，比如说q点的横坐标啊，比如说取一个。好。哦，对了啊。

我们就假设a点坐标啊，这个a点坐标我们还没假设出来是吧？呃，我们假设这个a点坐标是多少呢？a点坐标是n啊，就是四分之一n方加一好，那你可以把这个。呃，好。取任意点。哦，好，那我们就这样吧。好好像这个写的好像不是特别好。嗯。

稍等一小会儿。好PA和qa。好吧，那好像这个这个写的不是这个写的，好像不是特别的简洁啊，我看怎么我看要不要修改一下？啊算了，小伙伴们，我们还是修改一下吧啊，我们修改一下，我们把刚才那个结果呢，我们我们就不要说任取一点吧，我们就取抛物线的一个点，叫做a点好吧？我们要取一个population一点啊。

a点吧叫a点坐标，它是m吧，就不用q表示吧，就a点吧。叫做呃m。呃，四分之一倍的m的平方加一啊，这是a点啊，那这个这个就是pq就是PA吧PA和pp。CA吧好。kpa，好吧。好，这个叫做lpa好呃，那这个叫PA吧好呃。

没必要去单独假设一个q点，我稍微把它改一改，改的稍微简洁一点。PA的话呢，它与x轴交点，也就是c点坐标。它是这么多，那同理呢啊？同理啊，如果你假设啊。这个b点的坐标是多少呢？哦，它说直线。看看哦，对我们就假设b点坐标呢？

它的横坐标是n纵坐标，是四分之一n方加上一，那你也能得到什么号码？你也可以得到呢？这个直线AB呢？啊，它与x轴。呃，好，或者我们就知道PB吧。稍等一会啊，我看怎么描述会好一点？啊，行吧，那我们就跟着直接写吧。

我们得到这个直线AB的话呢，它的方程。连接ao是吧？好了算了，我们直接写吧，我们就假设呢呃，我们就可以得到呢AB呢，它和x轴的交点。是多少呢啊？我们就不管吧，我们还是把这个直线方程写出来吧，我们可以得到这个AB的方程啊，在这个方程当中，我们把这个。呃m呢？

取作是多少呢？取作n就可以了，把这个m取作n就可以了，那可以得到呢？配比。好，那我们就这样写吧，我们可以得到这个直线AB的方程，大家可以稍微暂停一下。好，那就是把这个上面的m换成n就可以了。那就是y是等于四分之n减二呢倍的x，加上二分之一倍的。n贝塔。好。

二分之一倍的啊n加一啊。那么，因为这个直线，它是经过点经过原点的吗？p点a点。嗨呀，不好意思啊。刚刚写了一个小问题啊呃，我们同理呢，刚才我们代入的时候代入错了，就是你用a点b点p点好，你可以得到三条直线。如果AP的话呢，是这样一套啊，你如果算这个AB的话呢。

那你就是用a点的横坐标和m点的和b点的横坐标就是mn啊，在这个式子当中呢，你把这个负二呢替换成这样一个。n就可以了好。所以我们这样写的话呢，其实并不简洁好，这个写法不太好，我重新给大家写一下啊，大家在这一段呢，可以把它掐掉啊。不是因为老师不会写啊，是因为我们在写的时候呢，刚才写的比较快。呃，所以呢。

就没有注意到这些小细节。大家可以理解一下啊，好，我们假设a点坐标呢，是m啊，这么多啊，假设b点坐标呢，是n啊，四分之一n方加一。好，那这个p点的坐标是多少呢？p点的坐标是负二二啊，我们首先呢来算一个，一般情况就是算这个AB，这个AB这样一个一般情况啊。

啊，我们说呢呃，可以得到呢AB的斜率啊，我们先不算别的，先算AB啊，因为AB呢，它两个点呢，都是用符号表示的，它可以表示任何一条直线。的情况。好好那么AB的话呢，它的斜率是多少呢？就是四分之一倍的m加n乘以m减n。除以一个m减，它是等于四分之一倍的m加n啊。

那这个AB这个方程的话呢？y是等于四分之一倍的m加n，这是斜率啊，好x减m加上一个四分之一m方加一。这个式子呢，就是四分之一倍的m加n倍的x啊，加上一个一减去四分之一倍的m乘n。这就是直线AB的方程好，那同理可得嘛。这个直线呢？PA的方程。我们只需要在在这个式子当中，我们只需要拿p点的横坐标负二和a点的横坐标m来去算就可以了，就是把这个n替换成负二就可以了。好。

那我们在这个式子当中呢？在这个式子当中啊，在这个一式当中吧，把这个n替换成负二，那就是。四分y是等于四分之一倍的m减二倍的x，加上一加上一个二分之m，这叫二式吧好吧？那同样的话呢？PB的话呢，也是一样的，就在这式子当中，我们把这个n。替换成负二啊哦，把这个m替换成负二就可以了。

那就是呢呃y是等于四分之一倍的n减二倍的x，加上一减去一个。二啊，那就是。替换成。负二啊，就是一加上二分之n。好，这叫三式吧。好了，那现在呢？我们就可以把PA PB PC都表示出来好，那现在呢？你就可以在直线PA当中。啊。

你可以另一个x等于我们说在一式当中呢？我们可以呢呃，代入什么呢？因为这个pab这条直线呢，它是经过坐标原点的，你可以代入零零。可以得到的啊，这个m和n的关系啊，好，你可以得到什么呢？得到一个呃。m×n是等于四的啊，就你把零零带到一式当中去啊，那么在二式当中呢？你可以怎么样呢？

你可以另一个x=0呃，你可以另一个y=0。可以得到呢。这个c点的横坐标啊，或者得到这个c点横坐标啊，你令它等于零的话呢，那就是呃负就是负2m。再减去一个一。啊，不对，那就是。我们可以把y等于零代进去啊，那就是二分之m加一是等于四分之一倍的二减m倍的x。两边同时一四啊，就是二m加上一个四除以一个二减m啊。

那就是二m加四除以二减m。零啊，这是得到c点啊，那同样的话呢，我也可以得到d点。三式当中呢。我们可以令什么呢？令这样一个y=0可以得到呢？这个d点的坐标啊，就把这个n换成MM，换成n就可以了。2n+4÷2-n零好，我们现在要证明oa和oc相等就是要证明什么呢？就证明这两个横坐标是相反的。那你可以怎么样来？

你可以拿这个c点的横坐标和d点的横坐标直接相加，它的和等于零的话呢，那不就是横坐标相反，那不就是oa和oc相等oc和od相等吗？好，那你来算一下呗，等于2m+4÷2-m+2n+4÷2-n。这个式子呢，我们可以通分啊，分母的话呢，就是二减m二减n分子的话呢，你可以提一个二出来。那剩下的话呢？这就是呃，我们会打草稿啊啊。

或者我们就旁边打个草稿吧。m加二乘以一个二减n，它就应该是等于二m加四。减去mn再减去一个2n，那下一项的话呢？就应该是啊，下一个分子的话就是二。这约掉那就是啊八减去二mn啊，咱们可以自己算一下啊，我算出来是这个结果啊。好，那我们这个时候有发现什么话问，因为你mn是等于多少呢？是等于四的啊，由于。

mn是等于四。知道什么呢？xc+xd呢，它是等于零的。所以呢，我们就知道啊，这个oc的长度，它是等于od的长度得真是不是？朋友们好，刚才我们在算的时候呢，稍微卡壳了一点点啊，就是因为我要算的有点快啊。啊，当时取的点不是特别好啊，好大家再重新看一看啊。

这是咱们的例五道题。没问题吧，伙伴们好，没问题，我们接着说了。也是设点啊，也是设点就是设三条点，三个点就可以了，是不是朋友们？好。设三个点，表示三条线，从而得到结论啊，就这么简单啊。那很多其他题呢。

也是类似的。这道题呢例六的话呢，它也是类似的啊，好我们好像是有老师要从后面穿过啊，好不管它。好吧，那我们接下来看例六这道题例六这道题，它说现在有个抛物线呢，它和这样一个x轴交于a点b点与y顶点是c点啊。这是个对称轴啊，对称轴为y轴的一个抛物线啊，是这样子好，那已知PA和PB呢，交于e点和f点要求。啊求oe+of÷oc好。

那这道题呢？大家可以暂停一下啊，好好的去想一想啊。呃，我们在一开始的话呢，是要对这个抛物线的适当的处理一下，因为你要设点啊，你要设a点坐标b点坐标和p点坐标。我们当然可以假设呢a点坐标是什么啊？什么什么多少啊？b点你就是令它等于零，可以把a点坐标解出来，把b点坐标解出来，把这个p点坐标，把这个c点坐标解出来。

啊，然后怎么来算？但是你这样解的话呢？直接令这个抛物线为零，把a的坐标解出来，是不是有点太傻了？是不是那算起来是不是太麻烦了？所以我们在算的时候呢，你干脆呢？假设这个a点坐标是负m0。一次图为例啊。啊，我们假设呢a能坐标是负m0。好，稍等一会儿。

嗯。好，我们假设呢，我们就以此图为例好吧，我们就假设a点坐标是负m0假设呢，这个b点的坐标呢，叫做m0。啊，那我们假设这个抛物线的方程呢？叫y等于呃抛物线啊？因为抛物线是经过这个a点b点的嘛，而且它的二次项系数呢，是等于a的，我们就可以假设抛物线的话呢。a倍的x+m×x-m啊。

也就是呢，这个抛物线的话呢？稍微改写一下。写作什么呢？y是等于ax方减去一个am的方好，我们先做好一个小小的铺垫啊。这个铺垫做完以后你再算的话呢，会简单很多，是不是伙友们好？那现在你就可以再怎么样呢？再假设呢？这个p一点的坐标啊，横坐标的话呢，我们就假设是t好吧，横坐标。

我们假设为t。纵坐标的话呢，就是at方减去am的平方啊，就把这个x取t可以啊，好，我们来算吧。呃，我们现在来算一下PA呗好，我把PA算出来啊。好，那PA的斜率为多少毫秒？PA的斜率，它是等于。p点的纵坐标啊at方减am的方减零÷1个t+m，这个结果是等于多少呢？

a倍的t-m。好，那这个时候呢，直线PA的方程啊y是等于a倍的t-m拿a点去把它算吧x+m。是吧，好，这是直线PA，然后呢？同理吧啊，当然我们说呢，你这个时候呢，可以令什么呢？我们可以令一个x=0。得到呢。这个f点的坐标f点的坐标的话呢？

横坐标是零纵坐标，代进去的话呢？就应该是负的。嗯，好负呃，不是啊，没有负的就是am倍的啊。x=0等于去啊，就是am倍的。t-m。好，那同理呢？好，你可以得到呢，这个直线PB的方程是多少呢？

好，把这个呃，把这个m呢替换成负m啊，那就是。y是等于a倍的t+m啊x-m好，我们可以得到呢。我们也是一样啊。我们如果令这样一个x=0可以得到呢？e点的坐标。就把上面这个m用负m表示啊，就把这个m用负m表示就是负的am倍的哦，稍等啊。就是零啊负的am，然后呢是呃t+m是吧？好t+m。

okay啊，那这个啊，于是呢，我们就知道了。oe的长度呢？加上一个of的长度oe的长度的话呢，就是表示e点的纵坐标的相反数啊，那就是am。t+m那of的话呢，它就表示啊f点的纵坐标的相反数啊，加上一个am倍的m-t。好，这个结果等于多少毫秒？我们来算一下啊，它就是。

两倍的am的平方，那oc的话等于多少呢？oc的话呢？我们就知道呢，是c点的话呢？好，你可以另y=0啊，可以得到这个c点坐标多少呢？c点坐标就是零负am的平方啊，所以呢oc的长度的话呢是am的平方，所以呢oe。加上of÷oc就等于多少呢？就等于嗯二啊二。2a方除以呃，2 am方除以am方就是等于二嘛好。

所以这是咱们第六道题好。以上的话呢，就是我们说的抛物线的。它的一个处理技巧啊，抛物线当中的弦，或者说呢，抛物线和直线问题呢，它的一个一般的处理技巧。就是设点好，那我们接下来呢，再说下一个考点啊，进一步啊，好一个叫定点问题啊。直线和抛物线的定点问题。好思路一样啊。

试点。好这一题的思路呢，都是一样的，就是设点就做完了啊，好呃，大家可以先看题啊，我先喝一口水啊。好，它现在说呢，有一个抛物线呢，它和x轴交于AC啊，交于a点啊。啊与x轴交于a点，那以此图为例的话呢？呃。

你可以得到什么呢？很容易得到呢a点的坐标是四零是吧？这个坐标就是四零的啊。好，那c点的坐标是一二吧？好，那么它现在说呢CD呢？垂直于y轴啊，那这个d点的坐标呢？就应该是零二。好，那mn是这个抛物线当中的任何两个点啊？好，那这个n点在上方啊n点在d点的上方啊？m点在d点的下方啊。

它有一个它有一个位置关系啊，告诉你了，并且呢dm乘以dn是等于三分之四的。好直线呢CN和抛物线交于e点啊，实现cm实现呢cm的话呢，与抛物线呢是交于。与f点。好嗯。啊对啊，让你连接ef呢，看一下它让你证明ef呢是经过定点的哈，这个问题呢，好像同学们说哎呀，好复杂好复杂，好像我好像没有什么思路啊。

是不是这样？朋友们没有啊，其实是我说过抛抛物线的题呢。非常非常无脑啊，尤为的无脑，它的无脑体现在什么地方呢？你看这抛物线几个点抛物线有个c点有个e点有个f点OK好，我们就直接设点。看似很复杂，其实就是设点就做完了，我们假设呢e点的坐标啊，叫做啊，我们用AB表示吧。换一个字母啊，叫做a啊负的三分之二a方。

加上三分之八a。f点呢叫做b啊负的三分之二b方加上一个三分之八倍的b。啊，那你c点坐标是多少呢？c点坐标是一二嘛？好，那现在我们可以把这个什么呢？把这三条直线啊，什么啊啊ef啊，什么cf啊，什么啊ce呢，都表示出来，我们首先来表示c啊ef吧。啊ef这条直线呢？它的斜率为多少呢？

啊纵坐标的差负三分之二倍的a加b乘以a减b。加上八分之呃，加上三分之八倍的啊。啊，就是a-b啊，这是纵坐标的差除以横坐标的差。a减b啊，这个结果等于多少呢？负三分之二倍的a加b，加上三分之八，那这个直线ef的方程。y等于啊，斜率是负的三分之二倍的a加b。加上三分之八。那我们用呃。

我们用这个ee点来表示啊，我们用e点来算x减a加上一个啊，就减去一个三分之二a方，加上三分之八a。这个式子整理出来一定是个什么样的式子，大家告诉我就是a+b和a×b的形式一定是a+b和a×b的形式，不信你自己看呗。一个关系式。好负的三分之二倍的a加b加上一个三分之八。啊倍的x剩下部分方等参考就是负三分之二倍的a方，加上AB加上三分之八啊，减去三分之八倍的a。再减去三分之二倍的a方，加上三分之八a好，那就约掉之后只剩下一个负的三分之二倍的a乘b。

OK啊，这是咱们的ef这条直线。啊，这个叫一式好吧？同理嘛。呃，同理，我们呃，当然我们也可以先不着急，这同理吧，我们直接把这个m点和n点坐标给它写出来吧。哦，我们我们直接把这个七啊。哦呃，那那先那从你吧。

还是从你吧？同理可得。好，这个直线呢en的方程是多少呢？啊，或者直线c1的方程啊。直线c1的方程的话呢，我们就是拿什么呢？我们就是把这上面呢，我们拿c点的横坐标一和e点的横坐标a啊，就是把这个b呢用一来表示啊，把这个b用一表示啊。上面式子当中呢，我把这个b呢。替换成一就可以了。

好，可以得到直线c1，那同样的话呢，你可以得到什么呢？直线。好CF。好y等于多少呢？负的三分之二倍的b加一，加上三分之八就把这上面的式子当中的b呢用一来替换啊，就用这样一个。c点和f点的横坐标啊c点的横坐标是1f点的横坐标是b啊来表示这条直线啊。减去三分之二倍的b好，那你这个叫二式吧。好，那现在我们要得到这个n点和m点坐标啊。

我们说呢，在二式当中啊。二式和三式中。我们如果另一个x=0可以得到呢，它们与它们的点啊，好在二式当中的话呢，你另这样一个x=0得到n点的坐标就是零。负的三分之二a。那m点坐标就是零负的三分之二b好啊，那我们就可以得到呢dm和dn的关系了。啊哦，我们可以把dm表示出来啊dm等于多少？因为n点在d点的上方呃m点在d点的下方，所以dm的话呢，就应该是用d点减去m点。

d点的坐标是多少？我们刚才算过是零二就用二减，它就是二加上三分之二倍的b，那dn的话呢？用n点的纵坐标减去d点的纵坐标，那就是负的三分之二。a再减去二啊。好呃，那由题意可知。dm和dn的乘积是等于三分之四的，那就是呢，二加上三分之二倍的b。乘以一个负的三分之二a减去二，那是等于三分之四的也就是呢。你能得到什么呢？

这数字我们打开呀。呃，打开那就是负的三分之不对啊，负的九分之四倍的AB嗯。再减去一个。四啊。好减去一个四啊哦，这都是负的是吧？哦，那那我们可以把左边移到右边去啊？嗯，是不收。好，那我们可以这样来算一下吧，那就是三分之二倍的a。

嗯，稍等，我看看啊对。啊，那就是九分之四倍的AB加上一个啊，三分之二倍加二啊，加上一个。啊，三分之四倍的啊a加b加上一个四是等于三分之四约掉约掉约掉约掉。一啊，那就是九分之一倍的AB，加上三分之一倍的a加b，减去三分之二等于零。不对，加上一个不对。

加上一个三分之二等于零。好两边同时乘以九啊，我们可以得到呢AB呢。加上一个三倍的a+b。两边同时乘以九+1个六呢，它是等于零的诶，我看我算错了没啊，稍等一会儿，我怎么感觉好像有点不太对啊？稍等，我瞄一眼啊。我是提前算过了，小伙伴们。但这个算错了，就很尴尬。

对不对？哦吼哦吼，等一会儿。这个是加号还是减号？哦，food哦，对对对，嗨，不好意思，小伙伴，这个应该是加号啊。这应该是加号，你看每负a和它相乘对应该是加号对，所以呢，这个结果呢。

这是加号，这是加号，这是加号，这是加号啊，所以这个式子还是有点小问题的。好，我们来重新写一下dm的长度是多少呢？是二减三分之二a啊？我说怎么这么奇怪啊？啊二减去三分之二倍的BD n的长度的话呢，是等于三分之二a减二啊，那这个式子呢，要稍微的改一下啊。好，那就是呢。

二减三分之二倍的b乘以一个三分之二倍的a减二，它是等于三分之四。那现在我们再来化简这个式子啊，这个式子呢，你化简整理出来以后呢，我们说过啊，它一定是个什么样的形式呢？这个式子呢？它一定是。一个a+b和一个a×b的关系式啊。如果你算出来不是这样一个式子，你肯定算错了。不要问为什么啊，问就是我，我们问就是我们知道这个结果啊。

知道这个经，这就是我们的做题的一个经验总结啊，这是一个经验的总结。好，那我们可以算出来这个式子呢，就是。这式子稍微整点就是三倍的a+b-ab，然后再减去八是等于零的啊。好减去八=0。没有问题。啊，减去12=0啊。OK，好，那现在有什么用法吗？

那现在你现在不就是要证明这个ef呢？是经过哪一个定点嘛好？那么我们就我们把这样一个式子呢，把这个四式吧。我们将这样一个四式呢。呃嗯，或者我们就得到啊，这样吧。我们进一步的整理成这个样子吧。好，也就是呢，这个a×b的话呢，是等于多少呢？是等于三倍的a+b再减去12。好。

我们把这个式子呢代入到一式当中，得到呢这个直线呢？ef呢，它的方程是等于多少毫安对吧？代进去就知道了，叫做y等于负的三分之二倍的a加b。加上三分之八倍的x，后面的话呢就是三分之二倍，三分之二乘它，三分之二乘它就是加上一个两倍的a加b。好，三分之二十呢，再怎么样呢？再减去一个八。这式子我们进一步的整理呢。

你可以把这个a+b呢当做一个整体啊。y是等于啊a加b倍的负的三分之二x加上一个二。再加上一个三分之八倍的x减去八。好，我们现在要判断这个直线呢，它是经过哪一个定点啊？那大家想这个直线经过哪个定点？对于这个式子而言呢？这个a+b呢？它是一个参数嘛？我们只需要让这个参数的系数为零啊，我们怎么样呢？我们就令啊。负的三分之二x加二等于零可以得到呢？x是等于三的啊y是等于零的。

也就是呢，这个直线ef呢，它是经过一个定点啊，这个定点叫什么呢？叫做三零OK好，所以这个题答案应该是三零，这是咱们第七道题。好，有没有问题？朋友们啊，应该没问题吧？好非常棒啊，那大家可以稍微整理啊，我们就不停的在接着往后说了，小伙伴们。

我们再往后说啊。好，我们再看下一题啊。例八这道题呢，它的结果是多少呢？我们呃，我们来先读题呀p点呢，它是这个抛物线在第二象限上的一个动点啊，也就是说它是在y轴的左侧。好，那pq的话呢？这个直线的话呢？长这个样子好，它与抛物线呢？交于一个q点。

第一问呢？让我们证明pq它是经过一个定点的。叫做a点啊，那这个a点坐标等于多少毫米好，我们来看第一问。第一问的话呢，我们就把这个是抛，把这个直线写作是k倍的x- 1+1好，另占一个x=1得到呢y是等于一，那么它是过一个定点叫做幺幺的啊。这是第一问好，第二问的话呢，我们也来算一算。它现在说什么样呢？现在说在这个抛物线上呢。

过p点做一条直线。啊，它与y轴交于零负一这个点。好与抛物线交于c点。好，而且呢，它说cq的话呢，它是经过一个定点，叫做d点，要求这个三角形abd的面积。那有同学说很诧异，说诶，为什么cq这个直线呢？它是会经过一个定点d呢诶，那这个地方呢？

就是需要大家把这个定点的坐标给它求出来的。所以你怎么样？所以你还是一样的，你就是要把cq这个直线的方程写出来，然后呢，看这个直线呢，是否经过一个定点？啊，从而把这个d点坐标算出来，那你有了d点坐标，你就能把这个三角形的abd的呃，这个abd这个方程给它解出来。啊abd，这个面积给它截出来好，那我们怎么做花纹？

这个题呢，它其实有一点点诱惑性啊，它的诱惑性在于什么呢？它是给了一条什么呢？它这个设的是线。它给的是线，但是呢，我们一般情况下呢，我们不用射线的方法，我们是不会用射线的方法的好，所以呢，我们在做这道题的时候呢，我们在第二问的时候呢。依然设点啊。我们这个时候呢。

其实这个题目题干呢，它有个干扰项，它有一点点干扰啊，就是这个射线呐，但射线的话，我们一般不用啊，我们一般是用射点去做的，这个才是正确的解法啊。好，那我们可以怎么做呢？抛物线上有三个点。叫做CP q。产生的三条直线cpc q pq。pq是经过定点a叫做幺幺CP，是经过一个定点b叫做零负一。

我们要证明的是cq，它也是经过一个定点，并且你要把这个定点坐标给它求出来。诶，不就是这样一个问题吗？好，那现在我们可以怎么样？唉，无脑设点，我们先假设呢p点的坐标呢叫做。用mnt吧啊，那就是横坐标是m。四分之一m的平方。呃，这是p点吧q点的坐标叫做n。

啊，四分之一n方。c点的坐标叫做t。啊，四分之一t方好，我们可以得到呢，这个直线pq的方程为多少呢？啊算了，我们写慢一点吧，还是先把这个斜率算出来吧。pq的斜率是四分之一m的平方，减去一个四分之一n的平方，除以m减n。等于四分之一倍的m加n。啊。

那pq这个直线的方程是多少呢？好，我们利用这个斜率啊，就是四分之一倍的m加n啊x减m，加上四分之一倍的m的平方。这个方程的话呢，你可以把它写出来，我们来算算啊，就是四分之一倍的m加n。倍的x再加上一个四分之一倍的mn，这个式子我们说过啊，其实我我喜欢写这样的，我更喜欢写的式子是长这样子啊，就是写成四分之多少呢？四分之m加n倍的x再减去一个mn啊。

减去一个四倍的啊，不对。嗯。啊，再减去mn对减去mn。好，这样写起来更好，这样写的话呢，显得更好看一些啊，好，我们说过啊，我还是给大家把这句话写上去啊，一定是。m+n和m×n的关系式啊。就我们得到这个结果呢。

你m+n肯定是在一起的m×n肯定在一起的，它一定是这样的式子啊，如果你算出来不是这个式子，你算错了。能够理解吧，朋友们好，这叫pq的方程啊。好，这叫一式吧。同理可知啊，同理。啊，这个呢CP的话呢PC啊？擦了方程。好。

就把这个啊，我们用c点的横坐标t啊，和p点的横坐标m啊，就是用m和t来表示啊，好，就是。四分之。m+t倍的x-mt。呃p cp q啊。cq的话呢，就应该是啊，用c点和q点啊，那就是。四分之。啊n+t倍的x- 1个nt好。

这叫20。好，这叫三式吧。好呃，那现在我们就来看一下，按照我们前面的分析呀，因为什么呢？因为你这个啊一式呢？因为pq啊，因为a点是在直线pq上啊啊，我们将这样一个a点坐标叫做一一。代入一式啊，可以得到什么呢？啊啊，可以得到呢。

这个m和n和MM+n和m成的关系啊，那就得到一个。m+n倍的啊，目测一下就是m+n- 1个mn是等于四的，等会我告诉大家这个式子应该是怎么处理它啊？我们同样的话呢。将这样一个b点的坐标呢？这个b点的横坐标叫做零负一代，入到二式好，你可以得到什么呢？好把这个零负一代进去啊，得到呢？零负一。零代进去就是啊，那就是MT是等于四的好。

这叫四式啊。呃，那现在的话呢？我们怎么样去说明什么呢？说明这个三式呢？是经过定点的，注意啊，接下来是有一个小技巧性的，大家看啊。我们是怎么去处理这个会稍微好一点呢？这个式子呢？我们可以得到m和n的关系，下面一个式子呢？你可以得到t和m的m和t的关系，那我们是怎么去解啊？

注意你这个式子呢，可以用m表示n，也可以用n表示m，但是呢，我们建议大家呢，是按照我的方法写啊。好用。n表示m把这个m解出来，这个m等于多少毫安？这个m的话呢，你可以算一下把它移过去再。就是m是等于四减n。除以一个一减。下面的话呢，也是一样的啊。

算出MM是等于多少呢？是四÷t的，那于是呢，由上市可知这两个式子相等吧。你可以得到n和t的关系，于是呢，我们可以有什么呢？四减n除以一减n是等于t分之四，那这个式子呢？我们也是一样的。你最终算出来这个结果，一定是一个什么关系呢？一定是。n+t和n×t的关系式，如果你得不到这个关系式啊。

你肯定算错了。这式子我压根不展开啊，我压根都没展开，大家看到没？我没展开，我就知道它的结果一定是n+t和n×t的形式，为什么呢？这就是做题的经验嘛，就是你自己的经验总结嘛，对吧？好，那你看我们把它打开啊。好，我把它隔一下。好。

你就可以得到什么画面？这式子你去拆啊，你看我们交叉相乘啊，4t-tn=4-4n，把右边移到左边去啊，我们可以得到什么呢？tn啊。呃呃，左边到右边去吧tn。减去一个四倍的t+n+4是等于零的。或者说呢。也就是呢，你可以得到的。tn是等于多少呢？等于四倍的t+n再减去一个四这个式子呢？

我们可以直接代入到一式。可以得到呢。这个直线呢pq的方程啊，得到直线啊算。哦，带了三式当中选带了三式当中选。我们可以直接代入到三式啊。你可以得到呢，这个cq的方程。好，我们把它写出来，把这个nt呢代进去啊，就是y是等于多少呢？分母是四的分子的话呢，就是n+t倍的x啊。

减去一个nt啊nt是等于多少呢？是等于上面的式子啊，就是减去一个四倍的t+n。再加上四这个式子呢，分子提一个n+t出来x- 4，再加上一个四。再除以一个四好，那你告诉我这个直线，它经过哪个定点？那不就是我们怎么样呢？这是个参数嘛，是不是这也是个参数嘛？我们就直接令什么呢？我们就直接令这个参数的系数啊，就是直接令x- 4=0。

也就是呢。x=4啊，得到呢？y是等于多少呢？y是等于一的。好于是呢，我们就知道了。这个直线pq它是经呃直线。过的定点呢，叫做地点啊，横坐标是多少呢？横坐标就是四啦，纵坐标是多少呢？就是一啦。那就是经过四一啦。

那这个三角形呢啊abd的面积等于多少呢？啊，那你可以自己算一下啊，这个面积的话呢，那d点坐标是多少呢？它就是啊，我们来算一下嗯a点坐标是幺幺啊。那就是幺幺啊，就是这样的啊，这个长度是三高度的话呢是？呃，高度是二。高度的话是二长度的话呢是三，那就是二分之一乘以三乘二，这个面积是等于三的。

OK好，这个题咱们就做完了，是不好了？好，所以这个面积的话呢是等于三。好，没问题吧？朋友们好，这是咱们这道题啊，好，大家可以看啊，我们在做这道题的时候呢，有两个注意事项，我给大家稍微总结第一点，你要明白我们的思路。

叫做设点。设三个点，表示三条线，但是呢，最后的话，你发现什么呢？你发现就是现在我们可以得到，就是说呢纸啊，我用笔圈一下吧。最后你发现这两个式子啊，你得了这两个式子啊，就是这两个式子呢，你到底是怎么处理它的？就这两个式子啊，你到底怎么处理它？

它的处理方法呢？是什么样子呢？就是把它啊用n来表示m用t来表示m，从而得到n和t它们所满足的关系。这样一种表示方法是最简单啊，你可以有其他方法，但我觉得这个方法是最简单啊，或者说呢，它本身就是这个方法是最简单，不是我觉得啊，是大家都这样觉得啊。好okay啊，这个题我们就过了。最后一道题呢？好。

我还是给它说完好吧，这个题我还是给它说完啊，这里我还没写啊，我没有写，我自己没写啊，但是这个题我这种题我基本上都是。啊，基本上就是现场写就可以了，都不需要去额外准备啊，好我们来说吧。它现在有一条直线呢pq啊，与这样一个抛物线呢，是交于a点。哦，不对啊。

直线呢与抛物线呢交与y轴交于零负一这个点。像有个抛物线啊，这个直线和抛物线的。这个图是不是画的有问题啊？嗯，这个pq它不就是与y轴交于这个图画的有点小问题哦。好，我们不管吧，这个这个地方应该没有了，这个地方应该没有了。它这个直线应该是长这样子的。啊好，这是AP q是三点共线的，这个应该是没有的。好b点坐a点坐标是零负一。

b点坐标是负一一好，那我们说呢？呃，它现在是怎么说呢？它现在说啊pq呢？它与。pq，它是经过零负一的啊，那PM呢，它是经过负一一的好，它让我们证明什么呢？让我们证明这个mq它是经过一个定点的啊，注意小伙伴们。和上一个题，它的思路是完全一样的。

上一个题是什么意思呢？你发现呢啊pq是经过一个定点a的。啊CP呢，是经过一个定点b的，让你证明cq是经过一个定点的，这道题也是一样啊。pq经过一个定点a。mp呢，是经过一个定点b让你证明mq是经过一个定点，那不就是完全一样嘛，是不朋友们完全一样啊，我们再来练习一下啊，我们一起算啊。怎么做滑门？第一个注意事项设点。

无脑射点吧，还想什么呢？假设p点坐标是呃用m吧m四分之一m方。q点坐标n四分之一n方。啊，这个m呃，还有一个什么m点的话呢？就是t。四分之一t方啊，我们设三个点，表示三条线有两条线经过定点。证明另外一条线经过定理啊好，我们来算一下直线pq y。pq的斜率是等于四分之一。好完全一样哦。

我写那么多干嘛呢？好，算了吧？好除以m减n等于四分之m加n啊，那这个lpq的话呢？y是等于啊四分之m加n。x-m。加上一个四分之一倍的m平方，它就等于四分之m加n倍的x减去m乘n，一定是m加n和m乘n的形式。好，同理。好l呢呃PT呢PM呢？它的方程啊，就是y是等于四分之啊。

用p点和m点的横坐标，那就是。m+t倍的x-mt啊直线啊。qm也是一样的y=4诶，不好意思啊。y=4分之啊n+t倍的x-nt。好，那现在我们会说这个叫一式啊，这个叫二式，这个叫三式。一式的话呢pq，它是经过一个定点啊，我们将这样一个a点坐标。代入到一式可以得到呢。好pq啊。

那就是多少毫安把零负一带进去啊，得到m×n是等于四的。好将这样一个呢b点坐标叫做负一一代入到二式啊。你可以得到什么呢？得到一个啊负一一是吧？再来一个啊。m+t。加上一个MT啊负一一是吧？啊减四啊，等于负四啊。好，那这两个式子我们是怎么处理好一样的处理啊？好，我用红色笔圈出来写出来这个式子的，它的处理技巧是什么呢？

就是呢，你看上面有一个m，下面有个m啊，我们首先把上面这个m解出来。它是四除以n的，下面这个式子的话呢，也是一样，你把m解出来是什么呢？是负四减t除以一个。呃，一+t啊。好于是呢。我们有什么呢？好四÷n啊。它是等于-4-t/(1+t)，我们刚才给大家说过这个结果呢？一定是什么呢？一定为。呃。n+t。还有呢n×t的关系啊。你这个结果啊，你这个化简的结果一定是这样一个式子啊。好，我们来看看。那就是四+4 t=- 4n加上呃，减去nt啊啊，所以呢，你可以把这个右边移到左边去啊。

n nt是等于负四倍的，就是nt=- 4倍的n+t，再减去一个四。是不是画面好？那这题做完了哈，那这个式子我们怎么样画面代入到一式就完了啊？啊，代入。一是。啊，不是代入三式啊，怎么老是代入一式干嘛？啊，代入三式可以得到什么呢？好得到的这个式子呢。

叫y是等于二好。分子的话呢？n+t倍的x。分母的话呢啊，这个nt啊nt的话呢，就是我们下面这下面啊，就上面这式子，但是它是减去nt啊，减的话呢，那这个地方就应该变为加是不是？咦诶，我看啊。减去mn。看有没有写错啊？减去一个nt啊。

好，应该没写错啊，那就是加上一个。四倍的n+t，再加上一个四，这个结果呢？你可以分子啊，稍微处理一下，就是x+4。再加四，再除以一个四，我们如果令x+4=0得到呢？x=- 4的时候呢y是等于一的啊，也就是说明呢这个qm呢，它是经过一个定点叫做负四一的。

OK，好，那这个题就做完了，是不是好？好小伙伴们，那关于呃直线和抛物线的问题呢？我们就先给大家讲这么多了呃。

资源目录

01.数学笔记.pdf

01.数学第一讲——二次函数与方程综合.mp4

01.数学答案.pdf

01.数学讲义.pdf

02.数学笔记.pdf

02.数学第二讲——抛物线与特殊图形.mp4

02.数学答案.pdf

02.数学讲义.pdf

03.数学第三讲——隐圆问题.mp4

04.数学笔记.pdf

04.数学第四讲——伴随轨迹问题.mp4

04.数学答案.pdf

04.数学讲义.pdf

05.数学第五讲--旋转与几何压轴.mp4

05.数学答案.pdf

05.数学讲义.pdf

06.数学第六讲——期中复习之圆.mp4

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